Euclides no formalizó la geometría como lo haríamos ahora, lo que confunde un poco mi respuesta a su pregunta. Cuando da nociones primitivas como línea y punto, tiene una descripción de lo que son. Un punto se define como algo que no tiene parte. Tenderíamos hoy a insistir en que el concepto de punto es simplemente primitivo y, por lo tanto, no necesita una definición, o no es primitivo, y la definición es en términos de algunos conceptos más primitivos (como el de una figura que es “parte” ”De otro). Además, en ciertos lugares de su desarrollo, toma medidas que, diríamos, requieren axiomas adicionales que no establece. Todo esto hace que trabajar con su sistema sea en parte una cuestión de interpretación.
En parte, los sistemas que obtienes al descartar otros postulados de Euclides son menos interesantes. El primero dice que dos puntos tienen un segmento de línea que los une. Si esto no es así, ¿entonces qué? Mientras lo leo, este parece ser el único axioma que implica que hay segmentos de línea. No puede haber pruebas de que haya segmentos de línea, si “segmento de línea” es un término genuinamente primitivo, y no hay axiomas que digan que hay segmentos de línea. Los autores posteriores prefirieron en su lugar definir una relación de “entre”, de modo que los puntos en el interior de AB sean solo los puntos entre A y B. Suponiendo que el conjunto de dichos puntos (junto con los puntos finales A y B) es un La cosa no parece una gran suposición, y negarlo simplemente parece dejar a uno sin tener una base para hablar de segmentos de línea.
Si deja caer el segundo postulado, que dice que los segmentos de línea se pueden extender indefinidamente a líneas, no estoy seguro de que el quinto axioma sea realmente utilizable, porque parece referirse solo a una situación en la que tiene tres líneas para comenzar. (Alternativamente, uno podría postular que si tenemos puntos A, B, C, D donde los ángulos ABC y BCD son menores que los ángulos rectos, entonces AB y CD pueden extenderse para intersectarse, de modo que no dependa de la existencia de “Líneas”. Sin embargo, como lo dice Euclides, el quinto postulado habla de líneas.) Sin el segundo postulado, como lo leí, uno no parece tener nada que diga que hay líneas. Si tomamos “línea” como un término primitivo, uno lo necesita. Supongo que alguien podría investigar si un quinto postulado reconstruido es suficiente para implicar que los segmentos de línea pueden extenderse indefinidamente. Por otro lado, las personas desde entonces acaban de tratar la línea AB como esos puntos colineales con A y B sin convertir el conjunto de dichos puntos en un objeto primitivo. (Y asumir que “los puntos colineales con A y B” es algo no parece suponer mucho).
El tercer postulado parece hacer lo mismo para los círculos que los dos primeros para segmentos de línea y líneas. Sin ella, parece que no hay nada que diga que hay círculos. Es posible moverse hablando del círculo con el centro A y el radio AB refiriéndose a si otros segmentos AC son congruentes con AB. Si queremos decir que ese círculo se cruza con el centro P y el radio PQ, podemos decir que hay un punto C tal que AB y AC son congruentes, y también lo son PQ y PC.
- ¿Cuál es la respuesta para esta pregunta de matemáticas?
- ¿Por qué los maestros de matemáticas siempre dan hojas de trabajo?
- ¿Qué hace que alguien sea un buen matemático?
- ¿Quién es un famoso filósofo de las matemáticas?
- Si pudieras revivir a cualquier físico, ¿quién sería y por qué?
El cuarto postulado dice que los ángulos rectos son congruentes. Si no es eso, ¿entonces qué? Creo que la gente de hoy en día tendería a ver este axioma como la conexión de dos conceptos (ángulos rectos y congruencia de ángulos) cuyo tratamiento en Euclides tiene algunas debilidades. Las axiomatizaciones posteriores han elaborado el concepto de congruencia de ángulos. Si no tiene el postulado cuatro, entonces no estoy seguro de lo que puede decir que Euclides está asumiendo sobre cualquiera de los conceptos. Algo de lo que dice Euclides sobre las figuras congruentes puede reinterpretarse en términos de congruencias del plano, es decir, mapeos de preservación de la distancia, pero esto parece estar leyendo en Euclides una forma de pensar que no pertenece.
Por otro lado, debido a que la trisección del ángulo no es una construcción de regla y regla, probar cosas como “hay un ángulo que es un tercio de un ángulo dado” parece requerir asumir algo más de lo que Euclides supone explícitamente.
El mismo problema surge en algunos otros sistemas de axiomas. El axioma que dice que para cualquier [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] hay un conjunto [matemática] {x, y} [/ matemática] podría ser bueno tener, pero no es el tipo de lo que uno exploraría negar. Sin ella, ¿de qué está hablando realmente? Los primeros cuatro postulados no tienen negaciones aparentemente interesantes.
Sin embargo, el quinto postulado sobrevive a los problemas que tenemos para hacer que Euclides sea riguroso. Hay geometrías alternativas, y bonitas, en las que no es cierto. Podemos definir segmentos de línea, líneas y círculos de la manera que quisiéramos, y todavía están bien. Si supone que el quinto postulado falla, puede seguir razonando como antes, pero obteniendo un conjunto alternativo de resultados. Hasta que la gente fuera consciente de la geometría no euclidiana, parecía una posibilidad real de que algún razonamiento inteligente sobre rectángulos o algo pudiera mostrar que no era posible. Hubo personas que incluso llegaron a desarrollar geometría hiperbólica antes de convencerse erróneamente de que había una contradicción.