¿Qué es [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin x} {x} [/ matemáticas]?

Answer 1

Aquí está el gráfico de [math] \ dfrac {sinx} {x} [/ math] (Perdóneme, el gráfico no está ampliado)

Está claro en el gráfico que como [matemática] x \ a + \ infty [/ matemática] [matemática] \ dfrac {sinx} {x} [/ matemática] se acerca arbitrariamente al eje [matemática] x [/ matemática ]: [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]. Entonces puede “adivinar” como [matemáticas] x \ a + \ infty [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {sinx} {x} \ to0 [/ matemáticas]

Ahora puede verificar si su “conjetura” es correcta utilizando la definición de límite de una función.

[math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {sinx} {x} = 0 [/ math] si para todo [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe [math] M> 0 [/ matemática] tal que para todo x,

[math] x> M \ Rightarrow | \ dfrac {sinx} {x} | <\ epsilon [/ math].

Elija [math] M = \ dfrac {1} {\ epsilon} [/ math] para que [math] x> M \ Rightarrow x> \ dfrac {1} {\ epsilon} [/ math].

[math] \ Rightarrow \ dfrac {1} {x} <\ epsilon [/ math].

[math] \ Rightarrow | \ dfrac {1} {x} | <\ epsilon [/ math].

Como [math] | sinx | ​​\ geq0 [/ math] multiplicar [math] | \ dfrac {1} {x} | <\ epsilon [/ math] por [math] | sinx | ​​[/ math] preserva la desigualdad.

[math] \ Rightarrow | \ dfrac {sinx} {x} | <(\ epsilon) (| sinx |) <\ epsilon [/ math] (porque [math] | sinx | ​​\ leq 1 [/ math])

lo que prueba que [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {sinx} {x} = 0 [/ matemáticas]

---

Como Satvik Beri ha señalado que también puede probar que el límite anterior es cero usando el Teorema de Sandwich.

Answer 2

0. sinx nunca es mayor que 1 o -1, entonces -1 / x <= sinx / x <= 1 / x como x-> infinito. Como las expresiones de izquierda y derecha convergen a 0, también lo hace el medio.

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin x} {x} = 0 [/ matemáticas]

Piense en el comportamiento del numerador y el denominador a medida que [math] x [/ math] se agranda:

• El numerador, [matemática] \ sen x [/ matemática], siempre toma un valor entre [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática], sin importar cuán pequeña o grande [matemática] x [ / math] es.
• El denominador, [math] x [/ math] se acerca al infinito. En otras palabras, se está volviendo enorme.

Entonces, al acercarse al infinito, tiene un número que rebota entre [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] dividido por un número que se está haciendo infinitamente grande. Ese denominador “se hace cargo” del numerador, y la fracción entera tiende a [matemática] 0 [/ matemática]. En el infinito, ese es el límite.

Answer 4

En primer lugar, tratar de comprender el dominio de la función seno

el valor máximo y mínimo del seno siempre se encuentra entre [-1,1]

por lo tanto,

-1

dividirlo por ‘x’

(-1 / x) <(sen x / x) <(1 / x)

ahora aplicamos límite a través de todo lo que obtenemos

que es “0” en ambos lados

ya que,

por lo tanto,

por lo tanto demostrado

Answer 5

[matemáticas] 0 [/ matemáticas].

[math] \ sen x [/ math] está acotado mientras [math] \ frac {1} {x} [/ math] tiende a [math] 0 [/ math] cuando [math] x \ to \ infty [/ math ] Desde [math] | \ sin x | \ leqslant 1 [/ math], tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ left | \ frac {\ sin x} {x} \ right | \ leqslant \ lim_ {x \ to \ infty} \ left | \ frac {1} { x} \ right | = 0. [/ math]

Answer 6

Usando una técnica que una vez leí en un libro de texto ruso, la respuesta es 0.

Esto se debe a que (1 / x) * sin (x) da, 1 / x -> 0 y sin (x) es una función acotada.

Entonces, Límite = 0 * (límite finito)

= 0

Answer 7

[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin {x}} {x} = \ frac {\ sin {\ infty}} {\ infty} [/ math]

Lo cual es indeterminado. Sin embargo, sabemos que, cualquiera que sea el valor de [math] x [/ math], el seno siempre oscilará entre 1 y -1:

[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ pm 1} {x} = \ frac {1} {\ infty} = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto;

[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin {x}} {x} = 0 [/ matemáticas]

Answer 8

La respuesta es [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Todo lo que necesita para ver esto es que, si bien el denominador alcanza cada vez más el infinito, el numerador está limitado entre [matemáticas] [1, -1] [/ matemáticas].

EDITAR: Como el OP ha pedido una prueba formal, permítame presentarla. Según la definición del límite (ε, δ), necesitamos demostrar

[matemáticas] \ forall \ delta, \ existe x_0, | f (x) – 0 | <\ delta, \ forall x> x_0 [/ math].

Para esto solo observa que

[matemáticas] | pecado (x) | \ leq 1, \ forall x, \ implica | \ frac {sin (x)} {x} | \ leq \ frac {1} {x}, \ forall x [/ math]

Ahora, es bastante fácil ver que si solo elegimos

[matemáticas] x_0 = \ frac {1} {\ delta} [/ matemáticas], se cumple la condición especificada en la definición, lo que demuestra que el límite es [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Notaciones: [matemáticas] \ forall [/ matemáticas] significa para todos. [matemáticas] \ existe [/ matemáticas] significa que existe.

Answer 9

Sabemos lo siguiente:

[matemáticas] -1 \ leq \ sin x \ leq1 \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math]

Lo que significa que:

[matemáticas] – \ frac {1} {x} \ leq \ frac {\ sin x} {x} \ leq \ frac {1} {x} \ forall x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \ }[/matemáticas]

Y sabemos que:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ pm \ frac {1} {x} = 0 [/ matemáticas]

Lo que a su vez significa que por el teorema de compresión:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {\ sin x} {x} = 0 [/ matemáticas]

Answer 10

Dado que el rango de la función seno, sin (x), es finito: -1

lim [sin (x) / x] cuando x se acerca al infinito = 0

Answer 11

Solución

lim x → infinito (sin x) / x

Vea la gráfica de sen x como se muestra a continuación, verá que el rango de sen x oscila entre [-1,1].

Cuando x se aproxima al infinito, 1 / x tiende a cero. Como puede ver en el gráfico que se muestra a continuación

Como el valor de sen x permanecerá entre [-1,1] ya que x tiende al infinito, puede suponerlo como una constante y dividir una constante por el infinito dará el resultado cero.

Por lo tanto, lim x → infinito (sin x) / x = 0 ans.

Answer 12

lim sin (x) / (x) llegará a
x-> ∞
{0}

en lim. 1 / x llegará a (0)
x-> ∞

mientras que sin (x) será un número finito [-1,1]

cuando un número finito se multiplica por 0, el resultado será 0

Answer 13

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin (x)} {x} [/ matemáticas]

Use la regla del producto:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to n} f (x) \ cdot g (x) = \ left (\ displaystyle \ lim_ {x \ to n} f (x) \ right) \ left (\ displaystyle \ lim_ {x \ to n} g (x) \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ left (\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x} \ right) \ left (\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ sin (x) \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 0 \ cdot \ left (\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ sin (x) \ right) [/ math]

[matemáticas] 0 \ cdot n = 0 \; \; \ forall n \ neq \ pm \ infty [/ math]

Los valores de [math] \ sin (x) [/ math] oscilan entre [math] -1 [/ math] y [math] 1 [/ math] por lo que nunca puede ser igual a [math] \ pm \ infty [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin (x)} {x} = 0 [/ matemáticas]

Espero que esto ayude 🙂

Answer 14

Es cero, se puede pensar físicamente (más fácil de calcular) de la siguiente manera.

A medida que x se vuelve infinitamente alto, el sinx más alto (o más bajo) puede llegar a ser 1 o (-1), de modo que dividido por un número mayor (el número tiende a infinito), será casi cero. (No importa en qué cuadrante caiga el valor infinitamente grande, ya sea positivo o negativo, el límite tiende a cero)

Answer 15

Esto no requiere ninguna sutileza.

[matemáticas] 1 \ geq \ sin (x) \ geq -1 [/ matemáticas]

así que el límite puede exprimirse muy fácilmente:

[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x} \ geq \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sin (x)} {x} \ geq \ lim_ {x \ to \ infty} – \ frac {1} {x} [/ math]

Debe quedar claro que el límite de la izquierda es [matemática] 0 [/ matemática], y también lo es el límite de la derecha, entonces el límite intermedio existe, y también es [matemática] 0 [/ matemática].

Answer 16

Dado que la magnitud de (sen x) es siempre 1 o menos. A medida que el valor de x sea cada vez más grande, la relación se hará cada vez más pequeña. La respuesta es, por lo tanto, cero.

Answer 17

También puede ver la división como producto de una función infinitesimal [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] y una función acotada [matemática] sin (x) [/ matemática]. Y esto le da una función infinitesimal como [math] x \ to \ infty [/ math].

Answer 18

ya que sin (x) siempre se produce entre -1 y +1

lim x-> infinity [sin (x) / x] = lim x-> infinity [(un número fijo entre -1 y +1) / x] = 0.

a medida que x se vuelve grande sin (x) / x -> 0

Answer 19

Debería examinar el teorema de Squeeze: http://en.wikipedia.org/wiki/Squ …

Answer 20

cuando x tenderá al infinito seno infinito fluctuará entre -1 y 1, mientras que 1 / x tenderá a 0. de ahí que todo el sinx / x tiende a CERO.