¿Por qué la teoría de categorías se considera controvertida entre los matemáticos?

Answer 1

La teoría de categorías, en sí misma, no es controvertida; Es solo una teoría matemática como cualquier otra. No hace afirmaciones sobre la filosofía de los fundamentos matemáticos, como las teorías de la teoría de conjuntos (incluido el uso del axioma de elección) o, aún más controvertido, el constructivismo, el intuicionismo, el finitismo o el ultrafinitismo. Cualquier matemático puede usarlo como herramienta, o no, como quiera.

Bueno, excepto por el hecho de que desde su invención a mediados del siglo XX, la teoría de categorías ha invadido constantemente todas las áreas de las matemáticas, influyéndolas con su “sinsentido abstracto” y dejando de lado las perspectivas que antes se consideraban concretas y prácticas, pero que luego se consideraron limitadas. . La geometría algebraica ha sido completamente superada (no es que yo personalmente me queje), gracias a Grothendieck, y la topología algebraica también, gracias a muchos otros (por ejemplo, Quillen, cuya teoría K algebraica fue la primera vez que había visto teoría de categorías utilizada de manera seria y no solo como un lenguaje descriptivo).

Lo que realmente atrae a algunas personas es su “intrusión” en campos no algebraicos como el análisis o la informática. Irónicamente (?), Sus objeciones son las mismas que la vieja generación de geómetras algebraicos cuando Grothendieck les quitó la alfombra, pero creo que esos matemáticos de principios de siglo habrían estado contentos con la reconstrucción del estudio concreto de sus sujeto sobre fundamentos categóricos. Joe Harris es el ejemplo estándar de un geómetra algebraico clásico que utiliza métodos modernos para ir más allá de la escuela italiana en los mismos problemas que habrían considerado (que es algo que literalmente ha dicho). Así que creo que las personas que encuentran objetivable la abstractización de su tema se están perdiendo la lección histórica de que nunca resta, solo agrega y redirige.

La teoría de la categoría no es controvertida, pero a veces se cree erróneamente que no es bienvenida.

Answer 2

Como las respuestas anteriores señalaron correctamente, la teoría de categorías no es en absoluto controvertida como teoría matemática. Proporciona herramientas para detectar fenómenos matemáticos que son omnipresentes en las matemáticas y que de otra manera no podrían detectarse. Por ejemplo, la noción de functor unifica muchas construcciones que se realizaron en campos tan variados como la topología, la geometría y la lógica. Las adjunciones son otro ejemplo de fenómeno matemático omnipresente: por ejemplo, el producto de la teoría de conjuntos y la unión disjunta son adjunciones, pero también los cuantificadores pueden verse como functores adjuntos, como señaló Lawvere.

Ahora los fundamentos categóricos son otra cuestión. La idea de unificar las matemáticas a través de la teoría de categorías ha sido vista como inútil y engañosa por una gran cantidad de matemáticos. De hecho, la educación matemática hace un uso tan grande de la teoría de conjuntos como lenguaje unificador y descriptivo desde el siglo XIX, que tendemos a verla como “el” fundamento de las matemáticas, la teoría que expresa lo que realmente son los objetos matemáticos; algún tipo de platonismo teórico de conjuntos de hecho.

Sin embargo, es posible pensar lo contrario. En particular, si uno tiene un punto de vista más estructuralista en matemáticas, entonces los fundamentos categóricos son excelentes porque permiten una descripción de objetos sin ningún compromiso ontológico en cuanto a la naturaleza de los objetos. Hay diferentes formas de definir el mismo objeto (un grupo puede verse como una categoría de un objeto donde todas las flechas son invertibles o como una determinada estructura de flechas que apuntan a un determinado objeto en una categoría). Otro ejemplo: es posible, a través de la noción de topos elementales, ver la categoría de conjuntos como un ejemplo particular de topos (topos bien señalados con objetos de números naturales que verifican el axioma de elección); pero también hay otros topos, topos constructivos, topos intuitivos, etc. Básicamente permite tener una visión mucho más amplia del mundo de las estructuras matemáticas y estudiar en un marco común las matemáticas clásicas y las matemáticas constructivas. Ya no estamos obligados a la teoría de conjuntos clásica.

Existen otros enfoques que utilizan la teoría de categoría superior (la teoría del tipo de homotopía es un ejemplo; también es posible ver la categoría de categorías como una categoría 2).

Si el objetivo de las matemáticas es describir estructuras, entonces quizás la teoría de categorías puede ser una herramienta útil para tener una visión más amplia, y podría ser un instrumento más natural que la teoría de conjuntos clásica.

(PS En pocas palabras, el estructuralismo matemático es la idea de que “la estructura es lo primero”, esa estructura es lo que realmente estudian los matemáticos. Tal vez podamos codificar estas estructuras en construcciones de teoría de conjuntos, pero esto no expresa en absoluto el “verdadero naturaleza “de los objetos matemáticos, si tal expresión tiene un significado.)

Answer 3

He escuchado la teoría de categorías descrita como una “enfermedad” por un matemático profesional. Este tipo de comentario es siempre un poco irónico y es básicamente una cuestión de gustos. Nadie se opone a que sea un área de estudio factual en matemáticas. Es solo que algunos piensan que lleva la abstracción un poco lejos, gastando un exceso de esfuerzo en grados realmente altos de abstracción y, por lo tanto, es un campo menos fructífero para un mayor desarrollo que las áreas más “básicas” en matemáticas como el análisis real. El mismo matemático ha expresado su preferencia por tener un análisis más real en lugar de tener un álgebra más universal.

Creo que es un asunto menos serio que, por ejemplo, la controversia sobre la teoría de cuerdas en física. El problema con la teoría de cuerdas para muchos físicos fuera de la teoría de cuerdas es básicamente uno de querer que otros campos obtengan prioridad en relación con ella. Sin embargo, los físicos más fuertemente opuestos a la teoría de cuerdas lo consideran malo de una manera que ningún matemático, por lo que yo sé, consideraría que la teoría de categorías es matemática. Una teoría en física puede estar “equivocada” de una manera que los teoremas en matemáticas no lo son.

Los campos de las matemáticas pasan por fases de relativa mayor o menor productividad y es natural que las personas desarrollen opiniones sobre dónde es más valioso dedicar más esfuerzo actualmente, y también que estas opiniones varían de matemático a matemático.

Creo que mucha gente estaría de acuerdo en que la teoría de categorías se ha fortalecido recientemente por los desarrollos en la teoría del tipo de homotopía. Quizás esto representa una especie de oscilación pendular.

Answer 4

La teoría de categorías no se considera controvertida de ninguna manera. Es una parte fundamental de las matemáticas desde la década de 1950.

El lenguaje de la teoría de categorías se ha convertido en parte del discurso matemático estándar incluso entre los matemáticos que no usan los resultados de la teoría de categorías en sí. Pocos matemáticos emplean el lema de Yoneda, pero cada matemático comprende lo que significa “functor”.

Las únicas razones por las que puedo imaginar por qué pensarías que hay alguna controversia son:

• Es posible que haya escuchado el término “sinsentido abstracto”. Esta es una referencia alegre, irónica al aspecto universal de la teoría de categorías. No significa una controversia con respecto a la validez o la importancia de cualquier argumento de categoría teórica.
• Es necesario establecer los fundamentos teóricos de la teoría de categorías, que ingenuamente se ocupan de las clases adecuadas, como “la categoría de todos los grupos”. Esto no es difícil de hacer, y no deja la teoría en una crisis fundamental.

Answer 5

Aquí hay un comentario que encontré por un académico (Walt Pohl, ver comentarios aquí: Being Square) que bromea con la ‘controversia’ en cuestión:

“El intento de reescribir los fundamentos de las matemáticas en términos de teoría de categorías es malo e incorrecto. Es el cuarto gran mal que hemos sido llamados a enfrentar: después del nazismo, el comunismo y el islamofascismo, nuestro destino es enfrentarnos al catego-fascismo. No me sorprende ver a Dsquared al lado de los catego-fascistas.

No es controvertido en el sentido de no ser confiable o reconocido como matemático. Sin embargo, existe una división cultural sobre la importancia relativa de la teoría de categorías para el resto de las matemáticas. Es una historia similar con otras áreas de las matemáticas con ambiciones “fundamentales”, como la teoría de la lógica, la teoría de conjuntos y la teoría de modelos.

En un extremo: los teóricos de categoría están haciendo el trabajo más importante en matemáticas puras, unificando y sistematizando toda la materia. Los argumentos categóricos son inherentemente mejores que otros tipos de pruebas (con la posible excepción de otros enfoques ‘fundacionales’) debido a su generalidad, y si un área de las matemáticas aún no se ha reformulado en términos categóricos, significa que el tema es inmaduro y no ha desarrollado una base teórica sólida. Todos los estudiantes de doctorado en matemáticas, independientemente de su área de investigación, deben aprender una gran cantidad de teoría de categorías para hacer las cosas “correctamente” y no atascarse en detalles irrelevantes.

En el otro extremo: los teóricos de las categorías simplemente hacen tonterías abstractas que, cuando las traduces a un contexto matemático más “ordinario”, son obvias o irrelevantes. No tiene sentido aprender teoría de categorías en general, solo el truco extraño cuando lo necesite, e incluso esos trucos son solo una abreviatura de algo que podría explicar en términos no categóricos. Es mejor dar una prueba menos categórica, ya que es más concreta e intuitiva. Una base categórica para un sujeto es insatisfactoria e inútil, ya que arroja demasiada información básica sobre cómo se ven realmente los morfismos como (clases de equivalencia de) funciones.

Este tipo de sesgo, en cualquier dirección, puede tener un efecto significativo en las decisiones de contratación y publicación de decisiones en revistas competitivas, por ejemplo.

En cuanto a por qué sucede: es muy difícil obtener una opinión objetiva sobre la importancia relativa de un área de las matemáticas para el resto, especialmente un área con un alcance tan grandioso, porque nadie (ni siquiera alguien que trabaja en un área fundamental) tiene comprensión firme del estado de las matemáticas en su conjunto. Por lo tanto, la visión de un matemático de lo que es y no es útil o importante para las matemáticas en su conjunto está inevitablemente coloreada por experiencias parroquiales de su propia especialidad, educación y hábitos.

Answer 6

Comenzaría con la teoría de modelos. Curiosamente, los matemáticos no ven mucha diferencia entre una teoría y un modelo. De ahí las ideas de que hay verdades matemáticas que son verdaderas pero no demostrables. Como el teorema de Goodstein, supongo. Lo cual solo requiere una teoría más rica que el simple Peano.
La teoría de categorías es uno de los lenguajes de modelado donde un matemático puede modelar sus teorías; No es el único. Tampoco lo es la teoría de conjuntos (“¿qué teoría de conjuntos?”, Uno debería preguntar cada vez que alguien aparece y dice que bueno, la teoría de conjuntos es la 42 de las matemáticas).

Si observa más de cerca la teoría de la categoría, verá que no es una base tan estricta como cabría esperar de una “base de todo”. Y nuevamente, no es una base, es solo una de las herramientas para hablar sobre verdades matemáticas, con una forma conveniente de ilustrar las ideas usando diagramas.

Es curioso que la teoría de la categoría haya penetrado la informática con bastante rapidez, mientras que los matemáticos todavía hablan sobre “conjunto de esto” y “conjunto de aquello”, definiendo los monoides en términos de conjuntos, por ejemplo. En informática, un monoide es un tipo con operaciones, básicamente, solo una teoría, como cualquier otra; No hay teoría de conjuntos involucrada. Ok, en informática, la teoría de conjuntos (y otros trucos no constructivos, como, por ejemplo, skolemization) es prácticamente inaplicable. Todavía no estamos completamente allí, en informática, con un montón de creencias de modelos basados ​​en conjuntos, pero la niebla se disipa gradualmente.

Answer 7

No creo que la teoría de la categoría sea controvertida, pero sigue siendo un área de actividad que está fuera de lo que podría considerarse “la norma” para las matemáticas. No se imparte tan ampliamente en el posgrado como otras ramas, y solo se presenta de manera cruda en el curso de grado para casi todas las universidades de habla inglesa y europeas. En las últimas 2 décadas, más o menos, la teoría de la categoría se ha convertido en un interés creciente para los informáticos. Dada la relevancia fundamental absoluta de la TC para las matemáticas “tradicionales”, todos terminamos usándola o requiriéndola (o algunas veces traduciéndola) en el uso diario. Mi opinión personal es que con el advenimiento de las ciencias de la información cuántica que se fusionan con la informática, y el límite entre las matemáticas y la CS se vuelve cada vez más poroso (particularmente la teoría de gráficos), la TC podría tener un enfoque pedagógico diferente y, por lo tanto, menos misterioso. Un ejemplo de lo que quiero decir aquí es que la prueba p = np que forma parte del conjunto milenario de 7 problemas no es solo uno de los problemas matemáticos pendientes más importantes, sino que es igualmente importante en la informática y en la vida cotidiana. No pretendo que la CT juegue un papel en la resolución de p = np, pero este problema particular “vive” en el mismo vecindario. Espero que esto sea útil

Answer 8

La respuesta de Alom Amit aborda el aspecto “controvertido”, pero también preguntó:

¿Hay formas de traducir los logros teóricos de categoría (pruebas, por ejemplo) al lenguaje de las ramas tradicionales de las matemáticas o de alguna manera reducir?

Si. Cada categoría localmente pequeña es una clase de objetos definidos en la teoría de conjuntos de lenguaje, como lo es cualquier functor dado entre dos de esas categorías de tamaño de clase. Por lo tanto, por ejemplo, cada resultado sobre el functor de homología tiene una prueba formal teórica de ZFC (“tradicional”).

Si queremos hablar sobre “la categoría de categorías” o las categorías que son “una clase de clases”, no podemos hacerlo sin encontrar algunos problemas fundamentales, sino decir que cada objeto vive en un universo Grothendieck (que es equivalente a afirmar cofinalmente muchos cardenales inaccesibles) y hablar de “categorías de clase” como, de hecho, subconjuntos de estos universos teóricos de conjuntos omite por completo el problema incluso más que lo anterior, proporcionando pruebas de teoría de conjuntos de cualquier resultado teórico de categorías.

Answer 9

Nunca escuché que la teoría de la categoría se considere controvertida.

Creo que generalmente se acepta que puedes hacer cosas muy complicadas de una manera muy directa y elegante.

Sin embargo, la teoría de categorías es muy abstracta y se parece un poco a la magia negra cuando la ves por primera vez. También necesita tiempo para aprenderlo y comprender su forma de razonamiento. Toma un tiempo acostumbrarse, tal vez escuchaste algo en esta dirección que te hizo pensar que no es aceptado como matemática fundamental.