Hay un número infinito de soluciones, algunas de las cuales son continuas en el intervalo dado, y algunas de ellas también son diferenciables. No se puede dar una respuesta general a la pregunta. Una integral impropia que tiene un valor finito puede usarse para construir una solución.
Algunas construcciones posibles:
1. Comience con el conocido [math] \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {x ^ {2}} dx = 1 [/ math], y multiplique por [math] -2+ \ log \ log2 [/ math]:
[matemáticas] f (x) = \ frac {-2+ \ log \ log2} {x ^ {2}} [/ matemáticas].
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2. Comience con [math] \ int_ {1} ^ {\ infty} e ^ {- x} dx = \ frac {1} {e} [/ math], y multiplique por [math] (- 2+ \ log \ log2) e [/ math]:
[matemáticas] f (x) = (- 2+ \ log \ log2) e ^ {1-x} [/ matemáticas].
3. Una solución más elegante comienza así:
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {dx} {(x + 1) \ sqrt {x}} = \ pi = \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {dx} { x \ sqrt {x-1}} [/ math],
que produce la siguiente solución:
[matemática] f (x) = \ frac {-2+ \ log \ log2} {\ pi} \ frac {1} {x \ sqrt {x-1}} [/ math].
Por supuesto, todos estos son diferenciables en el intervalo dado.