Cómo demostrar formalmente que si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​enteros positivos mayores que 1, entonces [math] ab [/ math] no es un número primo

Answer 1

Podemos probar una declaración similar para anillos arbitrarios, incluso aquellos que carecen de factorización única, utilizando la noción más general de un número primo, a saber:

Una unidad distinta de cero [matemáticas] p [/ matemáticas] es primo si y solo si [matemáticas] p \ mid ab [/ matemáticas] implica [matemáticas] p \ mid a [/ matemáticas] o [matemáticas] p \ mid b [/ matemáticas].

Suponga que [math] a [/ math] no es una unidad (un elemento invertible) y [math] b [/ math] no es una unidad. Entonces trivialmente [math] ab = (ab) 1 [/ math], entonces [math] ab \ mid ab [/ math].

¿Es posible que [math] ab \ mid a [/ math]? Si es así, entonces hay algún elemento [matemática] c [/ matemática] del anillo tal que [matemática] abc = a [/ matemática]. Pero eso implica [math] bc = 1 [/ math], es decir, [math] b [/ math] tiene un inverso y, por lo tanto, es una unidad. Pero asumimos que no era así. El mismo argumento muestra que [math] ab \ not \ mid b [/ math]. Por lo tanto, [math] ab [/ math] no es primo si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] no son unidades.

(¿En los anillos no conmutativos podríamos tener que distinguir “divisibilidad derecha” de “divisibilidad izquierda”?)

Para aplicar a los enteros, tenga en cuenta que la única unidad en los enteros es 1, por lo que cualquier número mayor que 1 no puede ser una unidad.

Answer 2

[matemática] a> 1 [/ matemática], por lo tanto [matemática] a \ neq1 [/ matemática].

[matemática] b> 1 [/ matemática], por lo tanto [matemática] ab> a [/ matemática], por lo tanto [matemática] ab \ neq a [/ matemática].

[matemáticas] a [/ matemáticas] divide [matemáticas] ab [/ matemáticas]. Por definición de «divide», si hay un número entero [math] d [/ math] como [math] ad = ab [/ math], entonces [math] a [/ math] divide [math] ab [/ math ] Ese entero existe: [matemáticas] d = b [/ matemáticas].

Entonces [math] ab [/ math] tiene un divisor: [math] a [/ math], con [math] a \ neq1 [/ math] y [math] a \ neq ab [/ math]. Por definición de número primo, [math] ab [/ math] no es primo. QED

Answer 3

En los números naturales [math] \ mathbb {N} = \ {0,1,2,3, \ dots \} [/ math], hay un número [math] 1 [/ math], que se conoce como la unidad , y como identidad multiplicativa . La identidad multiplicativa tiene la propiedad de que [math] 1 \ times n = n \ times1 = n [/ math] para cualquier número natural [math] n [/ math].

Un divisor [matemático] a [/ matemático] de un número natural [matemático] b [/ matemático] es un número natural para el cual hay algún número natural [matemático] c [/ matemático] tal que [matemático] a \ veces c = b [/ matemáticas]. Para cada número natural [matemática] n [/ matemática], observamos que [matemática] 1 \ veces n = n [/ matemática], por lo que tanto [matemática] 1 [/ matemática] como [matemática] n [/ matemática] son divisores de [matemáticas] n [/ matemáticas]. También se deduce que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] tiene exactamente un divisor: sí mismo.

Un número primo es un número natural [matemática] p [/ matemática] con exactamente dos divisores: [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática].

Un número compuesto es un número con más de dos divisores.

Cualquier número natural [math] c [/ math] puede escribirse únicamente como un producto de poderes de primos: dado un conjunto de primos [math] \ {p_1, \ dots, p_n \} [/ math] y una lista de natural números [matemática] \ {k_1, \ puntos, k_n \} [/ matemática], con cada [matemática] k_i \ ge1 [/ matemática], podemos escribir [matemática] c = p_1 ^ {k_1} \ veces \ puntos \ veces p_n ^ {k_n} [/ math]. Si [matemática] c [/ matemática] es primo, entonces [matemática] n = 1 [/ matemática] y [matemática] k_1 = 1 [/ matemática], y [matemática] c = p_1 [/ matemática]. Si [math] c [/ math] es compuesto, entonces [math] n> 1 [/ math].

Como sabemos que [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b> 1 [/ matemáticas], ¿cuál es el número mínimo de divisores que tiene cada uno de ellos?

¿Qué sabemos, por lo tanto, sobre el número de divisores de su producto [math] ab [/ math]?

Answer 4

Dado que ayb son ambos enteros, entonces ab también es un entero (el producto de dos enteros es un entero). Además, como a y b son mayores que 1, entonces ab es mayor que a, b y 1.

ab es un entero positivo divisible por a y b. Los divisores ayb son cada uno mayor que 1 y cada uno menor que el producto ab. Por lo tanto, ab no es primo porque es divisible por números distintos de 1 y en sí mismo.

Answer 5

ab es el producto de a * b, por lo tanto, dado que a y b son desiguales para 1 o 0, eso significa que ab no es un número primo debido a que es divisible por números que no son iguales a 1 ni a sí mismo.

Answer 6

Bueno, mirando de nuevo la definición de primos.

Cito Wikipedia:

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos distintos de 1 y en sí mismo. Un número natural mayor que 1 que no es un número primo se llama número compuesto.

Esto lo deja claro, ¿no?

No importa si el clima ayb es primo o compuesto, por definición ab es compuesto.

Answer 7

No es necesario demostrarlo, se deduce de la definición misma de un número primo.

Un número primo se define como un número entero que no se puede escribir como producto de dos números enteros a y b donde a y b son mayores que 1.

Answer 8

No necesita probar, ya se deduce de la definición de primo que no se puede expresar como el producto de enteros positivos.