¿Por qué tenemos un signo negativo al final?

Answer 1

Matemáticamente, tenemos que:

[matemáticas] \ bar x = \ text {E} (x) = \ frac {1} {2} \ int _ {- ∞} ^ {∞} xe ^ {- | x |} \; \ mathrm {d} x \\[/matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int _ {\ color {rojo} {- ∞}} ^ {\ color {rojo} {0}} xe ^ {\ color {rojo} {x}} \; \ mathrm {d} x + \ frac {1} {2} \ int _ {\ color {red} {0}} ^ {\ color {red} {∞}} xe ^ {\ color {red} {- x}} \; \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int _ {\ color {red} {0}} ^ {\ color {red} {∞}} \ color {red} {-} xe ^ {\ color {red } {-} x} \; \ mathrm {d} x + \ frac {1} {2} \ int_ {0} ^ {∞} xe ^ {- x} \; \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {1} {2} 1! + \ frac {1} {2} 1! = 0 [/ matemáticas]

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Otra forma de pensarlo:

Aquí hay un gráfico de

[matemáticas] g (x) = xe ^ {- | x |} = \ begin {cases} xe ^ {x} & \ text {if} x 0 \ end {cases} [/ math]

cuál es la función que se integra en esta pregunta.

Integrar una función, g [matemática] (x) [/ matemática], implica encontrar el “área debajo de la curva”, o el área entre el eje x y la función g [matemática] (x) [/ matemática].

Como puede ver en el gráfico, multiplicar [matemática] e ^ {x} [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática] siempre dará como resultado un valor negativo en el dominio [matemática] (- \ infty, 0) [/ math], ya que [math] e ^ {x} [/ math] siempre es positivo y [math] x [/ math] siempre es negativo. Por lo tanto, el área debajo de la curva es negativa para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas].

Del mismo modo, [math] xe ^ {- x} [/ math] será positivo en el dominio [math] (0, \ infty) [/ math] ambos y siempre es positivo. El área de la curva es positiva para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas].

Answer 2

Estás integrando de cero a infinito. Es mejor que esa función dentro de la integral vaya a cero y rápidamente. La disminución exponencial [matemáticas] e ^ {- x} [/ matemáticas] hará esto.

Por cierto, esa pista te está dando la función gamma

[matemáticas] \ Gamma (z) = \ int_0 ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math] [math] \ forall n \ in \ N [/ math]

Cuando calcula el valor esperado, está dividiendo la integral en dos partes. Uno de los cuales tendrá un signo opuesto debido a la integración de [math] – \ infty [/ math] a [math] \ infty [/ math].

El valor esperado igual a cero es el que debería obtener debido a la simetría de la distribución.

Answer 3

El signo menos es el resultado de esta integral particular sobre el negativo [matemática] x [/ matemática], mientras que el integrando es un producto de [matemática] x [/ matemática] (que es negativo) y [matemática] e ^ x [/ math] (que es positivo para todos los [math] x [/ math] reales). El integrando es, por lo tanto, un producto de un número positivo y un número negativo y debe ser negativo. Una integral de un integrando negativo siempre es negativa (a menos que el límite superior sea menor que el límite inferior).

Observe también que estamos calculando el valor esperado de una distribución que es par, lo que significa que su gráfica es simétrica con respecto al eje [matemático] y [/ matemático]. Por lo tanto, el valor esperado debe ser [matemática] 0 [/ matemática] ya que para cada valor de [matemática] x [/ matemática], existe exactamente la misma probabilidad de que el valor sea [matemática] x [/ matemática] y [matemática] – x [/ matemáticas].

Answer 4

Me gusta la integración tabular y vale la pena el tiempo de todos para aprenderla. Haces dos columnas, una de las cuales tomarás la derivada y la otra de la que tomarás la integral. El criterio de selección para es el mismo que la integración normal por partes, LIATE. La integral izquierda se evalúa como [matemática] (1/2) (x [/ matemática] [matemática] e [/ matemática] [matemática] ^ x- e ^ x) [/ matemática]. Conecte sus límites y obtendrá su respuesta.

Answer 5

La integral de xe ^ x, donde x varía de cero a menos infinito, es la integral de una función con valor negativo, por lo que es mejor que su valor sea negativo. La derivada de (xe ^ x – e ^ x) es xe ^ x, por lo que la integral tiene un valor funcional (xe ^ x – e ^ x) evaluado en 0 que da -1 menos su valor en -infinito que es 0. Por lo tanto el 1/2 multiplicador en frente multiplica 1 apropiadamente negativo.

Answer 6

En esa integral, sustituimos u = -x. Entonces el integrando se convierte en [math] -ue ^ {- u} (- du) = ue ^ {- u} du [/ math], y el límite inferior es infinito, siendo el superior u = 0. Pero la integral desde el infinito hasta cero es lo negativo de la integral desde el infinito hasta cero … y de aquí proviene el signo negativo.

Answer 7

Primero: E [X] debe ser [math] \ mu [/ math] y no [math] \ overline X [/ math].

Para la pregunta sobre lo negativo:

[matemáticas] \ dfrac 1 2 \ int_a ^ 0 xe ^ x \, dx = \ dfrac 1 2 \ left ((0–1) e ^ 0 – (a-1) e ^ a \ right) = \ dfrac 1 2 \ left (-1 – (a-1) e ^ a \ right) [/ math]

y al tomar el límite como [math] a \ to – \ infty [/ math] la expresión que involucra a va a cero, dejando la primera integral como [math] – \ dfrac 1 2 [/ math].

No estoy seguro de por qué esto se derrumbó: se abordó la pregunta y se calculó la integral. Estoy tan confundido sobre esto como cuando conocí la diferenciación de Frechet como estudiante. Uno puede esperar que, justo cuando se superó esa dificultad y pude seguir adelante, esta respuesta se puede colapsar y puedo dejar de tener que escribir material de relleno adicional.

Answer 8

Tenga en cuenta que e ^ x es siempre positivo, por lo que xe ^ x es negativo cuando x es negativo.

Answer 9

Todo se reduce a cómo hacer el paso final antes de la respuesta:

Answer 10

1. sustituya t = -x en la primera integral. El límite será inf. a 0.
2. el integrando será t * exp (-t). Pero necesitamos integrar de 0 a inf.
3. entonces cambie los límites e introduzca un signo negativo.

Answer 11

Realiza un cambio de variables para usar una variable ficticia (por ejemplo, x = -y ‘, luego dx = -dy’ y cambia los límites), luego intercambia los límites de integración en la línea 3 para hacer la integral de la misma forma que en la pista En realidad no es necesario evaluar la integral, serán idénticos.

Answer 12

Si observa el último paso, sustituye la integral de infinito negativo a 0 con -1/2 porque está en el rango negativo porque la integral de 0 a infinito positivo es +1/2. Esto significa que tienen el mismo valor absoluto, pero como la integral desde el infinito negativo hasta 0 queda del eje y, la respuesta es -1/2. ¡Espero que esto ayude!

Answer 13

Si observa el último paso, tiene una integral de un número negativo a 0. Cualquier área bajo esta curva tendrá un factor que es – (y): como tal, el área bajo la curva (definición de integral) debe también sea negativo cuando se multiplica por a + (x), positivo cuando x también es positivo.

Esto es lo opuesto a un valor positivo de y- el área es negativa en áreas con – (x), positiva en áreas con + (x).

Geometría.