¿Por qué los matemáticos dicen que [matemáticas] 0.000 \ dotsc09 [/ matemáticas] no es un número en las pruebas de que [matemáticas] 1.000 \ dotsc \ neq 0.999 \ dotsc [/ matemáticas]?

¿Por qué los matemáticos dicen que [matemáticas] 0.000 \ dotsc09 [/ matemáticas] no es un número en las pruebas de que [matemáticas] 1.000 \ dotsc \ neq 0.999 \ dotsc [/ matemáticas] ?

A menos que se especifique lo contrario, la expansión decimal de un número significa un miembro del conjunto de números reales, [math] \ mathbb R [/ math]. Una expansión decimal es una secuencia de dígitos indexados por números naturales cuyo valor en [math] \ mathbb R [/ math] es un límite de sumas finitas. Con estas definiciones puede probar [matemática] 0.999 \ dotsc = 1 [/ matemática] en [matemática] \ mathbb R [/ matemática]. Y la notación [math] 0.000 \ dotsc09 [/ math] no tiene un significado natural en [math] \ mathbb R [/ math].

La interpretación habitual de la notación [matemática] 0.000 \ dotsc09 [/ matemática] implicaría una secuencia de dígitos indexados por números ordinales (que incluyen elementos transfinitos como [matemática] \ omega [/ matemática] y [matemática] \ omega + 1 [ /matemáticas]). ¡Multa! A los matemáticos les encanta definir nuevas estructuras , siempre que se definan rigurosamente. Por ejemplo, los números surrealistas, [math] \ mathbf {N_0} [/ math], son un campo ordenado que contiene [math] \ mathbb R [/ math]. Así que adelante y defina su conjunto de “números”, [matemática] X [/ matemática], pero no puede suponer que se aplicarán varios resultados en [matemática] \ mathbb R [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática ]

En particular, no puede asumir que existen los límites superiores más bajos (suprema). En los números racionales, [math] \ mathbb Q [/ math], hay conjuntos acotados que no tienen un límite superior en [math] \ mathbb Q [/ math]. Hay “brechas” como [math] \ sqrt2 [/ math]. No existen tales huecos en [math] \ mathbb R [/ math]. Decimos que [math] \ mathbb R [/ math] está completo. Pero [math] \ mathbf {N_0} [/ math] tampoco está completo aunque contenga [math] \ mathbb R [/ math]. Por ejemplo, no hay Surreal más pequeño más grande que todos los Surreals finitos. ¿Existe la suprema necesariamente en [matemáticas] X [/ matemáticas]? Esto es relevante porque, si no lo hacen, tendrá problemas para definir límites e incluso la notación [matemáticas] 0.999 \ dotsc [/ matemáticas] no tendrá un significado natural en [matemáticas] X [/ matemáticas].

El problema es que su especificación de [math] X [/ math] no es lo suficientemente rigurosa como para determinar muchas cosas, incluso si existe suprema. Además, definir un conjunto de números en función de su representación es algo que no es matemático. Me hace sospechar que crees que los números son su representación (en decimal), en lugar de ser conceptos abstractos que tienen muchas representaciones distintas. Lo que probablemente significa que la discusión anterior sobre suprema es “puro gobbledygook”. Sin embargo, a menos que tenga sentido, probablemente debería mantenerse fuera del juego de definir nuevos conjuntos de números …

La pregunta más seria no es cómo configuramos la notación de lugar decimal, sino qué propiedades queremos que tenga nuestro sistema numérico. Los números relevantes aquí son el conjunto de ‘números reales’, equipados con las operaciones básicas de la aritmética. Las propiedades especiales que tienen son las siguientes:

Los números reales forman un campo: puede sumar, restar y multiplicar dos números reales y dividirlos por cualquier número real que no sea cero, y aún así obtener un número real; Además, se aplican todas las reglas habituales de aritmética.

Los números reales están totalmente ordenados: cualquier número real es positivo, negativo o cero, y estas propiedades se comportan bien bajo la suma y la multiplicación.

Los números reales están completos: dada una secuencia (a_n) de números reales tal que | a_n-a_m | tiende a cero como min (m, n) tiende a infinito, luego (a_n) converge a un límite real. NB: necesitamos la noción de convergencia para incluso dar sentido a la definición estándar de una expresión como 0.999 … (ver la respuesta de Ege Erdil).

Resulta que los números reales son el único sistema de números que tiene las tres propiedades. Puede intentar definir un sistema de números donde 0.000 … 09 tenga sentido, pero no será un campo completo totalmente ordenado.

En cuanto a por qué estas propiedades son importantes, debe observar todos los resultados sobre los números reales que se han demostrado utilizando estas propiedades.

En primer lugar, creo que te refieres a [matemáticas] 0.000 \ ldots 01 [/ matemáticas], no a [matemáticas] 0.000 \ ldots 09 [/ matemáticas].

Supongo que tu punto es que

[matemáticas] 0.999 \ ldots + 0.000 \ ldots 01 = 1.000 \ ldots [/ math]

y por lo tanto

[matemáticas] 0.999 \ ldots \ ne 1.000 \ ldots [/ matemáticas]

Bueno, aquí está la cosa. El número [matemático] 0.000 \ ldots 01 [/ matemático], si existiera, tendría infinitos ceros, y luego uno al final (¡lo que significa ‘el final’ de una lista infinita!). Hagamos esto más preciso. Denotemos el límite [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 10 ^ {- n} [/ math] como [math] 0.000 \ ldots 01 [/ math]. Traduciendo, la cadena de caracteres [matemática] 0.000 \ ldots 01 [/ matemática] representa el número al que [matemática] 10 ^ {- n} [/ matemática] se acerca a medida que [matemática] n [/ matemática] aumenta indefinidamente. Esto seguramente está cerca, si no exactamente, de lo que quiere decir con [matemática] 0.000 \ ldots 01 [/ matemática].

En cuyo caso, no es difícil mostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 10 ^ {- n} = 0 [/ matemáticas] (pero lea el epílogo después de esto). Así

[matemáticas] 0.000 \ ldots 01 = 0. [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] 0.999 \ ldots + 0 = 1.000 \ ldots [/ math]

y por lo tanto

[matemáticas] 0.999 \ ldots = 1.000 \ ldots. [/ matemáticas]


Epílogo

Lo anterior es cierto para el conjunto de números reales. Existen otros sistemas numéricos menos utilizados que incluyen los llamados infinitesimales. En tales sistemas numéricos, como los hiperreales, el decimal [matemático] 0.999 \ ldots [/ matemático] podría no ser igual a [matemático] 1 [/ matemático], sino a [matemático] 1 [/ matemático] menos un infinitesimal distinto de cero . Sin embargo, el conjunto de números reales no contiene ningún infinitesimal; esto se llama propiedad arquimedana de los números reales. De hecho, el límite de [math] 10 ^ {- n} [/ math] a medida que [math] n [/ math] aumenta es cero exactamente debido a la propiedad Archimedian de los reales. Por lo tanto, para números reales (léase: en el sistema de números utilizado por la mayoría de las personas) [matemáticas] 0.999 \ ldots = 1 [/ matemáticas].

Definir un sistema de números que tenga sentido, con lo que quiero decir que uno puede usarlo para demostrar que las cosas que sabe son verdaderas y no puede usarlo para probar que las cosas que sabe que son falsas, es más complicado de lo que parece. Por un lado, las definiciones que haga deben ser tan claras que cualquier persona sensata estará de acuerdo con lo que significan sus definiciones; y cuando se esfuerza por aclarar sus definiciones, encontrará, como lo hice en la clase de matemáticas sobre tales cosas, que algunas ideas simplemente no tienen tanto sentido como usted pensó al principio.

Esta idea de un número 0.0 … 09, por ejemplo, como señala otra respuesta, es imprecisa. ¿Cuántos ceros representa la elipsis (los tres puntos)? Hagámoslo preciso y digamos que representa un número infinito de ceros. Existen diferentes tipos de infinito: hay, por ejemplo, más números reales que números racionales (fracciones con un numerador entero y un denimador entero). Entonces, seamos más precisos, y digamos que los puntos suspensivos representan un cero por cada entero positivo. Eso es lo suficientemente específico para cualquiera … sobre los puntos suspensivos. Pero ahora, ¿qué pasa con el 09 después de los puntos suspensivos? Qué significa eso?

Puede intentar decir que el 09 viene después de todos los ceros en los puntos suspensivos. Desafortunadamente, eso no tiene sentido, porque una cadena infinita de ceros nunca termina; eso es precisamente lo que significa infinito, no puedes decir “sí, pero después de todo eso”. Simplemente no hay ningún “después”. Es como decir que el mono naranja se comió una banana cuando todos los monos son marrones; No tiene sentido.

Entonces, realmente no hay animosidad en contra de definir el significado de 0.0 … 09 como un número; simplemente no has dado una definición que todos podamos entender todavía.

Kurt Godel hizo una prueba famosa, de hecho, de que un sistema de lógica que es capaz de representar los enteros y la suma no puede ser al mismo tiempo capaz de probar cada declaración verdadera, pero incapaz de probar cualquier declaración falsa. ¡Búscalo!

Los símbolos solo tienen significado en la medida que elijas darles significado. La representación decimal [matemática] 0.a_1 a_2 a_3 a_4 \ ldots [/ matemática] denota el valor de la suma infinita (convergente)

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {a_k} {10 ^ k} [/ matemáticas]

Para dar sentido a [matemática] 0.000 \ ldots 09 [/ matemática], en lugar de escribir lo que quiere decir vagamente, defina explícitamente una secuencia de números naturales [matemática] a_k [/ matemática] que codifica lo que quiere decir. En ese caso, la definición le dará un significado único y bien definido. Si no está satisfecho con esta convención de representar decimales infinitos, ¡presente una nueva! Sin embargo, no espere que entendamos lo que quiere decir sin definir su uso particular de estos símbolos.

La respuesta es, de hecho, no . La expresión [matemática] 0.000 \ ldots 9 [/ matemática] no es una expansión decimal válida de un número real.

  • La representación decimal de un número real se define en términos de una secuencia de dígitos finita o infinitamente contable.
  • La expresión [matemática] 0.000 \ ldots 9 [/ matemática] está claramente pensada como una secuencia infinita de dígitos, con un 9 al final. (Si es finito, entonces es un número, pero no veo cómo podría usar ese número en su prueba).
  • Una secuencia infinita no tiene último elemento. No hay secuencia infinita con un 9 al final. Una secuencia con un 9 al final es finita.
  • Por lo tanto, su expresión no se ajusta a los requisitos de la definición y, de hecho, está mal definida.

Además, estás invirtiendo la carga de la prueba. Si desea probar algo, debe indicar qué definiciones está utilizando y utilizarlas correctamente.

“¿No sería igualmente válido definir un sistema donde 0.000 … 09 es un número? (Sé que la respuesta es sí, entonces, ¿por qué la hostilidad contra tales números?) ”

Tu puedes fácilmente. De hecho, el número hiperreal: Wikipedia funciona un poco así, pero hay formas mucho más fáciles de hacerlo. No hay hostilidad hacia tales números. Es solo que no son tan útiles como los números reales normales. La complejidad extra no te da mucho más.

Y cuando los matemáticos dicen 1 = 0.999 …, suponen implícitamente el uso de números reales. A veces no lo hacen explícito porque las personas que preguntan si 0.999 … = 1 generalmente no saben qué son realmente los números reales, por lo que no agrega nada para mencionarlos.

Los números reales se definen comúnmente como clases de equivalencia de secuencia de Cauchy. La notación decimal de un número real se obtiene de una secuencia de Cauchy (si es posible).

El siguiente enlace puede ser útil:

LA CONSTRUCCIÓN DE CAUCHY DE ℝ

Entonces, ¿cuál es la secuencia de Cauchy de la que se obtiene el número “real” “0.000 … 09”?

Editar:

A menos que esté introduciendo un nuevo modelo para números reales, en cuyo caso debe probar que este modelo satisface los axiomas de los números reales.

0,000 … 09. No es una notación bien formada de un número. Obviamente termina. En un decimal infinito bien formado, los puntos suspensivos aparecen al final, y sabemos el patrón en el que el número se repetirá hasta el infinito. Pero la notación para el “número” anterior deja en claro que el número termina, pero no nos permite determinar cuántos ceros hay, y por lo tanto la magnitud del 9 es indeterminada.

Están más cerca uno del otro tan cerca que son iguales literalmente pero matemáticamente no iguales. El 0.999999999999 y así sucesivamente se acerca a 1 pero aún no es igual. Dos o más lugares más de 9, se acerca aún más a 1.