¿Por qué los matemáticos dicen que [matemáticas] 0.000 \ dotsc09 [/ matemáticas] no es un número en las pruebas de que [matemáticas] 1.000 \ dotsc \ neq 0.999 \ dotsc [/ matemáticas] ?
A menos que se especifique lo contrario, la expansión decimal de un número significa un miembro del conjunto de números reales, [math] \ mathbb R [/ math]. Una expansión decimal es una secuencia de dígitos indexados por números naturales cuyo valor en [math] \ mathbb R [/ math] es un límite de sumas finitas. Con estas definiciones puede probar [matemática] 0.999 \ dotsc = 1 [/ matemática] en [matemática] \ mathbb R [/ matemática]. Y la notación [math] 0.000 \ dotsc09 [/ math] no tiene un significado natural en [math] \ mathbb R [/ math].
La interpretación habitual de la notación [matemática] 0.000 \ dotsc09 [/ matemática] implicaría una secuencia de dígitos indexados por números ordinales (que incluyen elementos transfinitos como [matemática] \ omega [/ matemática] y [matemática] \ omega + 1 [ /matemáticas]). ¡Multa! A los matemáticos les encanta definir nuevas estructuras , siempre que se definan rigurosamente. Por ejemplo, los números surrealistas, [math] \ mathbf {N_0} [/ math], son un campo ordenado que contiene [math] \ mathbb R [/ math]. Así que adelante y defina su conjunto de “números”, [matemática] X [/ matemática], pero no puede suponer que se aplicarán varios resultados en [matemática] \ mathbb R [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática ]
En particular, no puede asumir que existen los límites superiores más bajos (suprema). En los números racionales, [math] \ mathbb Q [/ math], hay conjuntos acotados que no tienen un límite superior en [math] \ mathbb Q [/ math]. Hay “brechas” como [math] \ sqrt2 [/ math]. No existen tales huecos en [math] \ mathbb R [/ math]. Decimos que [math] \ mathbb R [/ math] está completo. Pero [math] \ mathbf {N_0} [/ math] tampoco está completo aunque contenga [math] \ mathbb R [/ math]. Por ejemplo, no hay Surreal más pequeño más grande que todos los Surreals finitos. ¿Existe la suprema necesariamente en [matemáticas] X [/ matemáticas]? Esto es relevante porque, si no lo hacen, tendrá problemas para definir límites e incluso la notación [matemáticas] 0.999 \ dotsc [/ matemáticas] no tendrá un significado natural en [matemáticas] X [/ matemáticas].
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El problema es que su especificación de [math] X [/ math] no es lo suficientemente rigurosa como para determinar muchas cosas, incluso si existe suprema. Además, definir un conjunto de números en función de su representación es algo que no es matemático. Me hace sospechar que crees que los números son su representación (en decimal), en lugar de ser conceptos abstractos que tienen muchas representaciones distintas. Lo que probablemente significa que la discusión anterior sobre suprema es “puro gobbledygook”. Sin embargo, a menos que tenga sentido, probablemente debería mantenerse fuera del juego de definir nuevos conjuntos de números …