Lamento saber que te has informado mal. Existe una definición rigurosa para el concepto de límites. (Ref: Límite (matemáticas), Análisis real de Robert Battle y Donald Scherbert, Principios de análisis matemático de Walter Rudin)
Augustin-Louis Cauchy en 1821, seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición de límite (ε, δ). Explicaré esta definición para funciones reales valoradas. Imagine una función f definida de un subconjunto del conjunto de números reales al conjunto de números reales.
Decimos que el límite de la función k (el valor límite) existe en un punto c, si para cada ε> 0 existe un δ> 0 tal que el valor funcional de cualquier punto x en el intervalo (c-δ, c + δ) aparte del valor de c (que no necesita ser definido) pertenece al intervalo (k-ε, k + ε) o f (x) pertenece a (k-ε, k + ε) cuando x pertenece a ( c-δ, c + δ) ~ {c}
Lo que esto significa es que puedo hacer que f (x) esté tan cerca de k como quiera (tal vez no exactamente igual. Si lo hace, hace que la función sea más continua que el límite existente) considerando un intervalo suficientemente adecuado .
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Esta definición puede extenderse a funciones en diferentes dominios que no sean números reales. Pero eso requiere una explicación más detallada. También relacionado con esto está el concepto de límites en el infinito y límites que tienden al infinito. Mira los libros que sugerí para más información.