¿Existe alguna conexión entre la fórmula para el número de apretones de manos intercambiados entre n personas y la fórmula para una suma aritmética?

Answer 1

Si,
El número de movimientos de manos entre n personas es [matemáticas] \ binom {n} {2} = \ frac {n (n-1)} {2} [/ matemáticas]
La suma aritmética es [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ {n} i = \ frac {n (n + 1)} {2} = \ binom {n + 1} {2} [/ matemática]

Entonces, el número de movimientos de manos de [math] n [/ math] people es la suma de los números de [math] 1 [/ math] a [math] n-1 [/ math]. Esto es fácil de ver si cuenta el número de sacudidas de manos para cada persona:

• Persona [matemática] 1 [/ matemática] le da la mano a las personas [matemática] 2 [/ matemática] hasta [matemática] n [/ matemática]. Eso es [math] n-1 [/ math] shakes y ahora todos han estrechado la mano de la persona [math] 1 [/ math], así que ya no lo contamos.
• La persona [matemáticas] 2 [/ matemáticas] ahora se da la mano con las personas [matemáticas] 3 [/ matemáticas] a [matemáticas] n [/ matemáticas]. Eso es [matemáticas] n-2 [/ matemáticas] batidos adicionales.
• Persona [matemática] 3 [/ matemática] se da la mano con personas [matemática] 4 [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática]. Sin embargo, otra [matemática] n-3 [/ matemática] tiembla.
• [matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
• Finalmente, la persona [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] le da la mano a la persona [matemáticas] n [/ matemáticas]. Eso es [matemática] 1 [/ matemática] más y la sacudida final ya que, por ahora, la persona [matemática] n [/ matemática] ha estrechado la mano de todos los demás.

Resumiendo todos los movimientos de manos, obtenemos [matemáticas] n-1 + n-2 + \ cdots + 1 = \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} i [/ matemáticas]