¿Hay un número que consta de 10 factores?
Según el teorema fundamental de la aritmética, cada número natural mayor que uno puede expresarse como un producto de números primos (únicos hasta el orden de los primos):
[matemáticas] \ quad \ displaystyle N = \ prod_ip_i ^ {q_i} [/ math]
Por ejemplo, los siguientes números se expresan únicamente como:
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[matemáticas] \ quad10 = 2 \ veces5 [/ matemáticas]
[matemática] \ quad162 = 2 \ times3 ^ 4 = 2 \ times3 \ times3 \ times3 \ times3 [/ math]
[matemáticas] \ quad48 = 2 ^ 4 \ cdot3 = 16 \ veces3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad567 = 3 ^ 4 \ cdot7 = 81 \ veces7 [/ matemáticas]
El número de factores es simplemente un producto de (exponentes primos más uno). ¿Por qué? Porque cada factor tiene entre cero y las copias exponentes de cada primo en él. Es decir:
[matemáticas] \ quad \ displaystyle F (N) = \ prod_i (q_i + 1) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] 10 = 2 ^ 1 \ cdot5 ^ 1 [/ matemática] tiene [matemática] (1 + 1) (1 + 1) = 4 [/ matemática] factores, a saber, [matemática] \ {1,2,5 , 10 \} [/ matemáticas].
Para obtener algo con diez factores, necesitamos:
[matemáticas] \ quad (q_1 + 1) (q_2 + 1) = 10 \ Rightarrow \ {q_1, q_2 \} = \ {1,4 \} [/ matemáticas] o
[matemáticas] \ quad (q + 1) = 10 \ Flecha derecha q = 9 [/ matemáticas]
Ahora podemos simplemente elegir dos primos distintos [matemática] p_1, p_2 [/ matemática], y sabemos
[matemáticas] \ quad p_1 ^ 1 \ cdot p_2 ^ 4 [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ quad p_1 ^ 9 [/ matemáticas]
tener exactamente diez factores, sin tener que calcularlos explícitamente.
En particular, los ejemplos dados anteriormente (excepto [matemáticas] 10 [/ matemáticas]) tienen diez factores. [matemáticas] 567 [/ matemáticas] es bastante lindo. Continúe y marque [math] _ {\ ddot \ smallsmile} [/ math]