¿Puede explicar por qué la integración de [math] x ^ {- 1} [/ math] requiere una función de registro para resolver el problema?

Answer 1

La regla de poder es:

[matemáticas] \ int x ^ n = \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} + C [/ matemáticas].

Al poner -1 para n, obtienes:

[matemática] \ frac {1} {0} x ^ {0} + C [/ matemática], que no está definida. Es por eso que la regla de poder normal no funciona.

Algunas personas simplemente dirán que es [math] \ ln x [/ math], por definición, al final de la historia, sin justificar por qué [math] \ ln [/ math] es un logaritmo. Sin referirnos a [math] \ ln [/ math] en absoluto, podemos mostrar que es un logaritmo. Comience definiendo:

[matemáticas] F (x) = \ int_1 ^ x \ frac {dt} {t} [/ matemáticas].

---

Ahora veamos [matemáticas] F (ab) [/ matemáticas]:

[matemáticas] F (ab) = \ int_1 ^ {ab} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas].

Usando una propiedad básica de integrales:

[matemáticas] F (ab) = \ int_1 ^ {a} \ frac {dt} {t} + \ int_a ^ {ab} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas].

Sustituyendo [math] t = au [/ math]; [matemáticas] dt = a \; du [/ matemáticas] en la segunda integral:

[matemáticas] F (ab) = \ int_1 ^ {a} \ frac {dt} {t} + \ int_1 ^ {b} \ frac {a \; du} {au} [/ matemáticas].

[matemáticas] F (ab) = \ int_1 ^ {a} \ frac {dt} {t} + \ int_1 ^ {b} \ frac {du} {u} [/ matemáticas].

[matemáticas] F (ab) = F (a) + F (b) [/ matemáticas].

Eso es interesante. Esta función [matemática] F [/ matemática] aparentemente convierte la multiplicación en suma. Esto nos recuerda los logaritmos.

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Veamos qué les hace a los poderes.

[matemáticas] F (a ^ b) = \ int_1 ^ {a ^ b} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas].

Sustituya [matemática] t = u ^ b [/ matemática], [matemática] dt = bu ^ {b-1} du [/ matemática]:

[matemáticas] F (a ^ b) = \ int_1 ^ {a} \ frac {bu ^ {b-1} du} {u ^ b} [/ matemáticas]

[matemáticas] F (a ^ b) = b \ int_1 ^ {a} \ frac {du} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] F (a ^ b) = b F (a) [/ matemáticas].

Entonces [math] F [/ math] también convierte poderes en multiplicación. De nuevo, como un logaritmo.

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Deje [math] G [/ math] ser el inverso de [math] F [/ math]. Aplicando [matemática] G [/ matemática] a ambos lados de [matemática] F (a ^ b) = b F (a) [/ matemática]:

[matemáticas] G (F (a ^ b)) = G (b F (a)) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ b = G (b F (a)) [/ matemáticas]

Ahora voy a sustituir algunas cosas raras por [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].

[matemáticas] a = G (1) [/ matemáticas], [matemáticas] b = F (x) [/ matemáticas]:

[matemáticas] G (1) ^ {F (x)} = G (F (x) F (G (1))) [/ matemáticas]

[matemáticas] G (1) ^ {F (x)} = G (F (x) \ cdot 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] G (1) ^ {F (x)} = G (F (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] G (1) ^ {F (x)} = x [/ matemáticas]

De esto, parece que:

[matemáticas] F (x) = \ log_ {G (1)} x [/ matemáticas]

Entonces, a partir de la definición, hemos demostrado que [math] F [/ math] es algún tipo de función de logaritmo, con un número extraño para una base.

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Volviendo a la integral,

[matemáticas] \ int_1 ^ x \ frac {dt} {t} = \ log_ {G (1)} x [/ matemáticas]

Desde el FTOC,

[matemáticas] \ int \ frac {dt} {t} = \ log_ {G (1)} x + C [/ matemáticas]

Lo único que queda por hacer es descubrir qué es [matemáticas] G (1) [/ matemáticas]. Recuerde que [matemática] F [/ matemática] es el área bajo la curva [matemática] 1 / t [/ matemática], desde [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] x [/ matemática]. Esto significa que [matemática] G (1) [/ matemática] es el valor de [matemática] x [/ matemática] donde esta área es [matemática] 1 [/ matemática]. Más grande que [matemáticas] 2 [/ matemáticas], menor que [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Answer 2

Definamos algo primero.

[matemáticas] e ^ x: = \ lim _ {n \ to \ infty} (1+ \ frac 1n) ^ n [/ matemáticas]

Lea más sobre e aquí.

Hay dos perspectivas.

Desde una perspectiva de función inversa.

No sé si esto ya se incluye en los libros de texto, pero se puede usar para encontrar la derivada de una función inversa. Denotar

[matemáticas] y = e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = e ^ x = y [/ matemáticas]

que no es discutible Por supuesto, aún puedes probarlo usando la definición.

Como [math] \ ln x [/ math] es la función inversa de [math] y [/ math], podemos escribir

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ ln x = \ frac {dx} {dy} = \ frac 1y [/ matemáticas]

¡Espere! Recuerde ahora que usamos esta nueva función ahora:

[matemáticas] x = \ ln y [/ matemáticas]

Entonces

[matemática] \ frac {dx} {dy} = \ frac 1a [/ matemática]

¿Que es eso? Esto significa que la derivada de [math] \ ln x [/ math] es el recíproco de la función. Entonces explica por qué

[matemáticas] \ int x ^ {- 1} dx = \ ln | x | + C [/ matemáticas]

De la definición de e.

Todavía demostramos que la derivada del logaritmo natural es el recíproco. Y denotar

[matemáticas] f (x) = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim _ {h \ a 0} \ frac {\ ln (x + h) – \ ln x} h [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {\ ln (1- \ frac hx)} h [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ ln (1- \ frac hx) ^ {\ frac 1h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ ln \ lim_ {h \ a 0} (1- \ frac hx) ^ {\ frac 1h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ ln \ lim_ {u \ to \ infty} (1- \ frac 1 {xu}) ^ u [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ ln e ^ {\ frac 1x} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ frac 1x [/ matemáticas]

¡Asi que aqui esta!

Answer 3

No, no puede ser tan simple como −x − 2 + c. No existe una fórmula de integración que reste el poder. La integración es anti-derivada de cualquier valor. Lo que mencionaste es la derivada de x (potencia-1). Lo tomaste como regla de poder, usado en derivación. En el cual el poder viene antes de la consonante y con eso el poder se resta por 1.

En integración,

esta fórmula se usa para resolver potencias, pero -1 potencia siempre nos da un valor indefinido. Para calcularlo correctamente, utilizamos la función de logaritmo natural. De lo contrario, permanecería indefinido.

Gracias

Answer 4

Usamos el teorema fundamental del cálculo:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (\ int {f (x) dx}) = f (x) [/ matemáticas]

Es decir, que diferenciar e integrar son las funciones inversas entre sí.

Por lo tanto, su pregunta es equivalente a demostrar que:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ ln {x} = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Entonces, usamos:

[matemáticas] y = ln (x) [/ matemáticas]

Ln (x) es el inverso de la exponenciación:

[matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas]

Diferenciación:

[matemáticas] \ frac {dx} {dx} = \ frac {d {e ^ y}} {dx} [/ matemáticas]

El lado derecho se diferencia implícitamente:

[matemáticas] 1 = \ frac {de ^ y} {dy} \ cdot \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]

La función exponencial es invariante bajo diferenciación:

[matemáticas] 1 = e ^ y \ cdot \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]

Pero teníamos [matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ frac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Entonces tenemos:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (\ ln {x}) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Como dije, ahora podríamos integrar esto para deshacernos del d / dx (pero recuerde: necesitamos una constante de integración)

[matemáticas] \ int {\ frac {1} {x} dx} = \ int {\ frac {d} {dx} (\ ln {x}) dx} = \ ln {x} + c [/ matemáticas]

Las otras respuestas ya le informaron sobre sus problemas con la diferenciación en los detalles, pero aquí puede ver una prueba rigurosa del hecho de que la integral de [math] x ^ {- 1} [/ math] es la función de registro natural.

Answer 5

Desde la definición misma de derivada y relación entre una función y su integral, si [math] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] son ​​funciones tales que:

[matemáticas] \ int f (x) dx = g (x) [/ matemáticas]

Entonces [math] f (x) [/ math] tiene que ser la pendiente (general) de una tangente dibujada en cualquier punto (general) en [math] g (x) [/ math].

Por lo tanto, de la definición matemática de pendiente general, que también es completamente intuitiva:

[matemáticas] f (x) = g ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {g (x + h) – g (x)} {h} [/ matemáticas]

Siguiendo esta definición, cuando [math] f (x) = x ^ {n} [/ math], entonces:

[matemáticas] g (x) = \ frac {x ^ {n + 1}} {(n + 1)} [/ matemáticas]

Ahora, observará que cuando [matemática] g (x) = x ^ {- 1} [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] o [matemática] n = -1) [/ matemática], la definición anterior se vuelve indefinido, por lo que definitivamente no es una función exponencial.

Ahora, la tabla de integrales no se prepara al azar. En realidad, es al revés, las funciones se diferenciaron primero y los resultados se tomaron para preparar una tabla de integrales. Como [math] \ log (x) [/ math] es una de las funciones importantes, alguien intentó encontrar la derivada de esta función y encontró [math] 1 / x [/ math] como respuesta.

Answer 6

Si aplica la técnica estándar de integración para polinomios, obtendrá [matemática] \ frac {x ^ {- 1 + 1}} {- 1 + 1} = \ frac {1} {0} [/ matemática], que es indefinido

Sin embargo, la derivada de lnx es [matemática] x ^ {- 1} [/ matemática]

la integral de una función es la antiderivada de la función, por lo que la integral de [math] x ^ {- 1} [/ math] es [math] lnx [/ math]

Answer 7

No es un “problema”, es el resultado. Y un resultado no es arbitrario.
Puede ver fácilmente que la integral de x⁻¹ es ln () comprobando que la derivada de ln () es x⁻¹

Además, cometiste un error en tu razonamiento: int (x⁻³) es -1 / 2.x⁻², no x⁻⁴. Entonces int (x⁻¹) “debería” ser 1/0. x⁰, no x⁻².

En resumen, no todas las reglas son válidas para todos los valores, especialmente cuando está involucrado el infinito. int (x ^ (a-1)) es 1 / ax ^ a solo para a! = 0.

Answer 8

Además del análisis aceptado, es una (n) culminación histórica de diferentes resultados por parte de varios investigadores.

Gregory comenzó experimentos para encontrar el área bajo la hipérbola y = (1 / x).

Descubrió que las áreas entre diferentes límites tenían áreas acuáticas, sin embargo, nunca calculó las áreas reales.

Un matemático llamado Sarasa vio una conexión en el trabajo de Gregory con los registros.

A (ab) = A (a) + A (b)

P.ej . Si dibuja un bosquejo aproximado de y = (1 / x), marque algunos puntos, digamos, 3.4.12.

Encontrará que A (4.3 = 12) – A (4) = A (3), utilizando el resultado cualitativo de Gregory.

Entonces A (4.3) = A (3) + A (4)

Ahora hay una conexión entre y = (1 / x) y los registros.

Luego vino Mercator y dedujo la fórmula para el área bajo la curva

y = 1 / (1 + x) = x – (x ^ 2/2) + x ^ 3/3) – (x ^ 4/4) +. etc.

Esto hizo posible encontrar los valores reales de los registros de forma rápida y sencilla.

Sin olvidar, por supuesto, que lo que se está encontrando es la integral de y = (1 / x) de 1 a lo que sea.

#### o

e (lnx) = x

d / dx (e lnx) = 1

= e lnx d / dx (ln x) = 1

d / dx (ln x) = 1 / (e ln x) = 1 / x

Integral de d (ln x) = integral dx / x

ln x = integral de (dx / x)

Answer 9

No tengo mucho tiempo, así que esta respuesta tendrá que ser breve. Su pregunta es equivalente a probar que 1 / x es la derivada de log (x). Supongamos que y = log x. Entonces x = exp (y). Diferenciar ambos lados con respecto a x: 1 = exp (y) dy / dx. Entonces dy / dx = 1 / exp (y) = 1 / x.