Cómo usar una matriz 2 * 2 para transformar una línea recta que se muestra como una ecuación lineal

Answer 1

Aquí hay dos formas muy básicas de pensar sobre este problema utilizando solo las herramientas muy básicas de Álgebra.

Deje que la matriz 2 por 2 esté dada por:

[matemáticas] A = \ izquierda [\ begin {array} {cc} a_ {11} y a_ {12} \\ a_ {21} y a_ {22} \ end {array} \ right] [/ math]

Deje que la línea esté dada por [math] y = mx + b [/ math].

Entonces, cualquier punto de la línea tiene un par ordenado:

[matemáticas] (x, mx + b) [/ matemáticas].

Podemos usar el determinante para asignar este par ordenado general a su nueva posición de la siguiente manera:

[matemáticas] \ left [\ begin {array} {cc} a_ {11} y a_ {12} \\ a_ {21} y a_ {22} \ end {array} \ right] \ left (\ begin {array} {c} x \\ mx + b \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} a_ {11} x + a_ {12} mx + a_ {12} b \\ a_ { 21} x + a_ {22} mx + a_ {22} b \ end {array} \ right) [/ math]

Esto proporciona una descripción paramétrica de la nueva línea. Luego debe hacer algo de álgebra para obtener la respuesta de una forma más natural:

Descripción paramétrica:

[matemáticas] \ hat x = a_ {11} x + a_ {12} mx + a_ {12} b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hat y = a_ {21} x + a_ {22} mx + a_ {22} b [/ matemáticas]

Ahora resuelva la primera ecuación para [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] x = \ frac {\ hat x-a_ {12} b} {a_ {11} + a_ {12} m} [/ matemáticas]

Y sustituir en el segundo:

[matemáticas] \ hat y = \ left (\ frac {\ hat x-a_ {12} b} {a_ {11} + a_ {12} m} \ right) \ left (a_ {21} + a_ {22} m \ right) + a_ {22} b [/ math]

Algunos “limpieza” da:

[matemáticas] \ hat y = \ frac {\ left (a_ {21} + a_ {22} m \ right)} {a_ {11} + a_ {12} m} \ hat x + \ frac {a_ {11} a_ {22} -a_ {12} a_ {21}} {a_ {11} + a_ {12} m} b [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que el determinante de la matriz viene dado por:

[matemáticas] \ text {Det} (A) = a_ {11} a_ {22} -a_ {12} a_ {21} [/ matemáticas]

Entonces nuestra respuesta es:

[matemáticas] \ hat y = \ frac {\ left (a_ {21} + a_ {22} m \ right)} {a_ {11} + a_ {12} m} \ hat x + \ frac {\ text {Det} (A)} {a_ {11} + a_ {12} m} b [/ matemáticas]

---

Un enfoque alternativo es notar que una línea está completamente determinada por dos puntos en ella. Entonces podemos tomar dos puntos de la línea original, asignarlos a dos puntos nuevos usando la matriz, y luego encontrar la ecuación de la línea resultante.

[math] y = mx + b \ implica (0, b) [/ math] y [math] \ left (- \ frac bm, 0 \ right) [/ math] están ambos en la línea

Luego vemos dónde [math] A [/ math] asigna estos puntos:

[matemáticas] \ left [\ begin {array} {cc} a_ {11} y a_ {12} \\ a_ {21} y a_ {22} \ end {array} \ right] \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ b \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} a_ {12} b \\ a_ {22} b \ end {array} \ right) [/ math ]

Y vemos que [matemáticas] (a_ {12} b, a_ {22} b) [/ matemáticas] es un punto en la nueva línea.

También:

[matemáticas] \ left [\ begin {array} {cc} a_ {11} y a_ {12} \\ a_ {21} y a_ {22} \ end {array} \ right] \ left (\ begin {array} {c} – \ frac bm \\ 0 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} – \ frac bma_ {11} \\ – \ frac bma_ {21} \ end {array } \ right) [/ math]

Y vemos que [math] \ left (- \ frac bma_ {11}, – \ frac bma_ {21} \ right) [/ math] es un punto en la nueva línea.

Ahora podemos encontrar la pendiente de la nueva línea:

[matemáticas] \ hat m = \ frac {a_ {22} b + \ frac bma_ {21}} {a_ {12} b + \ frac bma_ {11}} [/ matemáticas]

Entonces, usando la forma de pendiente de punto, la ecuación de la nueva línea viene dada por:

[matemáticas] \ hat y – a_ {22} b = \ frac {a_ {22} b + \ frac bma_ {21}} {a_ {12} b + \ frac bma_ {11}} (\ hat x – a_ {12} b) [/ matemáticas]

Limpiar este álgebra debería dar el mismo resultado que lo que di arriba, suponiendo que no cometí ningún error en ninguno de los casos.

Answer 2

Siempre puede encontrar una matriz cuyo núcleo o imagen sea una línea dada a través del origen. Siempre puede representarlo como el gráfico de un mapa lineal cuya matriz es solo una por una matriz cuya única entrada es la pendiente de la línea.