¿De cuántas maneras se puede hacer un collar con 6 cuentas rojas idénticas y 2 cuentas azules idénticas?

Answer 1

¿De cuántas maneras se puede hacer un collar con 6 cuentas rojas idénticas y 2 cuentas azules idénticas?

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Este problema específico se ha diseñado para que la enumeración sea bastante sencilla. Suponiendo que los collares son solo equivalentes bajo rotación, cada collar distinto se caracteriza de manera única por el número de cuentas rojas [matemáticas] r [/ matemáticas] entre las dos cuentas azules para [matemáticas] 0 \ le r \ le \ frac {R} {2} [/ math] donde [math] R = N-2 [/ math] es el número total de cuentas rojas y [math] N [/ math] es el número total de cuentas (hay 2 cuentas azules incluso en El caso general de este problema).

Aquí hay dos casos: o [matemática] R [/ matemática] es par y hay [matemática] \ frac {R + 2} {2} [/ matemática] collares o [matemática] R [/ matemática] es impar y hay [math] \ frac {R + 1} {2} [/ math] collares. Estos dos casos pueden manejarse usando la función de piso para dar [matemática] \ left \ lfloor \ frac {R + 2} {2} \ right \ rfloor [/ math], o en términos de [math] N [/ math ]

[matemáticas] \ text {Collares distintos} = \ left \ lfloor \ dfrac {N} {2} \ right \ rfloor \ qquad \ blacksquare [/ math]

En el caso de sus 6 cuentas rojas y 2 azules, la respuesta es [matemática] \ left \ lfloor \ frac {8} {2} \ right \ rfloor = 4 [/ math].

Por favor, disculpe que mi notación sea diferente a la suya.

editado

Answer 2

Aquí hay una manera simple de pensarlo. Solo enumeremos las diversas posibilidades:

1. Las 2 cuentas azules son adyacentes entre sí.
2. Las 2 cuentas azules están separadas por exactamente una cuenta roja.
3. Las 2 cuentas azules están separadas exactamente por dos cuentas rojas.
4. Las 2 cuentas azules están separadas por exactamente tres cuentas rojas.

Y eso es. Piensa en las 2 cuentas azules separadas por cuatro cuentas rojas. Aquí hay una representación pictórica, pero con las cuentas en línea:

RBRRRRBR

Pero debido a que están en un círculo, si rotamos esto por dos cuentas, obtenemos;

BRRBRRRR

Pero esto significa que las cuentas azules están separadas exactamente por dos cuentas rojas, que ya contamos.

Entonces solo hay 4 posibilidades.

Answer 3

Analicemos su problema de manera un poco diferente.

Hay 3 formas de colocar las cuentas azules si todas las cuentas rojas están en una fila, ambas a la izquierda, ambas a la derecha y una a cada lado.

Hay 5 formas de colocar una sola cuenta azul entre las seis cuentas rojas. Pero debido a que la otra cuenta azul puede estar en cualquier lado, eso da 10 formas para esta opción.

Hay una vez más 5 posiciones para la primera cuenta azul si vamos a colocar ambas cuentas entre los rojos. Si está en la primera posición, hay 5 lugares para colocar la segunda. Si está en la segunda posición, hay 4. Y así sucesivamente. Entonces esta opción tiene 15 posibilidades.

3 + 10 + 15 = 28

Ahora, si las cuentas llenan el círculo, es fácil ver que hay menos opciones de las que señalé. El primer paso se convierte en 1 y el segundo paso en 5. El paso 3 sigue siendo el mismo.

1 + 5 + 15 = 21