¿Qué es el estructuralismo en la filosofía matemática? ¿Cuáles son algunos ejemplos de matemáticos estructuralistas?

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El estructuralismo matemático se basa en el método axiomático. Por ejemplo, los números reales [math] \ mathbf R [/ math] se pueden definir como un campo ordenado completo, que se puede definir con aproximadamente una docena de axiomas. Luego puede modelar un campo ordenado completo de varias maneras diferentes, las dos más conocidas son (1) secuencias de Cauchy de números racionales y (2) cortes de Dedekind en números racionales. También puede probar a partir de los axiomas que, dados dos campos ordenados completos, hay un isomorfismo único de preservación del orden entre los dos. Esencialmente, la única diferencia entre ellos es cómo nombras sus elementos.

Un estructuralista concluirá que uno es tan bueno como el otro e ignorará la construcción utilizada. Diría que todos los matemáticos que he conocido son estructuralistas.

Una forma más integral de estructuralismo es concentrarse más en las relaciones entre los objetos matemáticos y menos en los elementos de esos objetos. La teoría de categorías lleva eso al extremo e ignora los elementos por completo. Una categoría solo tiene los objetos y los mapas (también llamados morfismos o flechas) entre los objetos. Por ejemplo, la categoría de conjuntos tiene como objetos los conjuntos en sí, y los mapas entre ellos son funciones. Algunas ramas de las matemáticas usan la teoría de categorías ampliamente, pero no es tan útil para otras.