¿Cómo se relaciona la regla del coseno con el producto escalar de dos vectores planos?

Answer 1

El producto Vector Dot es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas) y devuelve un solo número (manteniendo la analogía con la multiplicación de números reales).

Ahora, Let a & b son dos vectores en coordenadas cartesianas 3D

De acuerdo con la Ley de cosenos al triángulo AOB obtenemos,

donde | AB | = | a – b | , | OA | = | a | , | OB | = | b | Entonces,

Entonces, la definición geométrica del Producto Dot es (Del producto Dot – Roblox Wiki )

Para comenzar, tengamos una definición para el producto escalar dados los vectores A y B.

“La proyección escalar de A sobre B multiplicada por la magnitud de B”

“La proyección escalar de B sobre A multiplicada por la magnitud de A”

Por supuesto, esta definición puede hacer que te preguntes qué es una proyección escalar y, lo que es más importante, cómo calcularla. Una proyección escalar es la cantidad que un vector viaja en la dirección de otro vector. Entonces, si decimos que queremos la proyección de A sobre B, queremos saber cuánto del vector A va en la misma dirección que el vector B y viceversa para la proyección de B sobre A.

Por lo tanto, a veces también se le llama producto escalar, producto interno o, raramente, producto de proyección.

Answer 2

El producto punto de dos vectores u y v es [math] \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = | \ mathbf {u} | | \ mathbf {v} | \ cos (\ theta) [/ math] donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre dos vectores.

Vamos a definir un triángulo con tres vectores. [math] \ mathbf {u}, \ mathbf {v} [/ math] y [math] \ mathbf {w} = \ mathbf {u} – \ mathbf {v} [/ math]. El punto A es el origen, B es [math] \ mathbf {u} [/ math], C es [math] \ mathbf {v} [/ math]. Las longitudes de los lados son [math] a = | \ mathbf {w} | [/ math], [math] b = | \ mathbf {v} |, c = | \ mathbf {u} | [/ math]. Y los cuadrados son [math] a = \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w} [/ math], etc.

Ahora vamos a expandir

[matemática] \ begin {align} a & = \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {w} \\ & = (\ mathbf {u} – \ mathbf {v}) \ cdot (\ mathbf {u} – \ mathbf {v}) \\ & = \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} + \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} – 2 \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \\ & = c ^ 2 + b ^ 2 – 2 | \ mathbf {u} | | \ mathbf {v} | \ cos (\ theta) \\ & = b ^ 2 + c ^ 2 – 2 bc \ cos (\ theta) \ end {align} [/ math]

Entonces vemos que la regla del coseno desaparece, simplemente expandiendo el producto punto de la diferencia de dos vectores consigo mismo.

Answer 3