¿Hay alguna manera de probar [matemáticas] \ sin (a + b) [/ matemáticas] sin la idea de que [matemáticas] a + b <\ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Answer 1

Sí, puede con un poco de esfuerzo extender la prueba a ángulos [matemática] a + b> \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemática] y sin usar la identidad de Euler (que no sabría si acaba de comenzar con la trigonometría y no sé mucho sobre números complejos y la serie McLaurin para la función seno). Primero, tenga en cuenta que la prueba geométrica se puede modificar para cubrir el rango: [matemática] \ dfrac {\ pi} {2} <a + b \ dfrac {\ pi} {2} [/ math], podemos restarle un múltiplo entero de [math] \ dfrac {\ pi} {2} [/ math] para obtener un ángulo en el rango [matemática] 0 \ leq \ theta <\ dfrac {\ pi} {2} [/ matemática]. Por ejemplo, en la figura dada, podemos cambiar el ángulo en el segundo cuadrante a uno en el primero restando [math] \ dfrac {\ pi} {2} [/ math] de él.

Entonces, [math] \ sin \ angle {POX} = \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2} + \ theta \ right) = – \ cos \ theta [/ math], que es obvio geométricamente y sin recurriendo a la fórmula de suma de ángulos.

Deje [math] \ angle {POX} = a + b [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ sin (a + b) = – \ cos \ left \ {a + \ left (b – \ dfrac {\ pi} {2} \ right) \ right \} [/ math]

[matemáticas] = – \ cos {a} \ cos \ left (b – \ dfrac {\ pi} {2} \ right) + \ sin {a} \ sin \ left (b – \ dfrac {\ pi} {2 } \ right) [/ math]

Notamos que [math] \ cos \ left (b – \ dfrac {\ pi} {2} \ right) = – \ sin {b} [/ math] y [math] \ sin \ left (b – \ dfrac { \ pi} {2} \ right) = \ cos {b} [/ math]. De dónde,

[matemáticas] \ sin (a + b) = \ sin {a} \ cos {b} + \ cos {a} \ sin {b} [/ matemáticas]

Mediante métodos análogos (o recursividad), puede probar esto para ángulos en otros cuadrantes.

Answer 2

Supongo que quiere decir “Probar [matemáticas] \ forall a, b \ in \ mathbb {R}: \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a ) [/ math] ”porque [math] \ sin (a + b) [/ math] no afirma ninguna declaración comprobable.

Por un lado, tenga en cuenta que [matemáticas] \ sen x = \ frac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i}, \ cos x = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ math], para todos [math] x [/ math], entonces la suma:

[matemáticas] \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a) = \ frac {e ^ {ia} + e ^ {- ia}} {2i} \ frac {e ^ { ib} -e ^ {- ib}} {2} + \ frac {e ^ {ib} + e ^ {- ib}} {2i} \ frac {e ^ {ia} -e ^ {- ia}} { 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(e ^ {ia} + e ^ {- ia}) (e ^ {ib} -e ^ {- ib}) + (e ^ {ib} + e ^ {- ib}) (e ^ {ia} -e ^ {- ia})} {4i} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(e ^ {ia} e ^ {ib} + e ^ {- ia} e ^ {ib} -e ^ {ia} e ^ {- ib} + e ^ {- ia} e ^ {- ib}) + (e ^ {ia} e ^ {ib} + e ^ {ia} e ^ {- ib} -e ^ {- ia} e ^ {ib} + e ^ {- ia} e ^ {- ib})} {4i} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(e ^ {i (a + b)} + e ^ {i (ab)} – e ^ {i (ba)} – e ^ {i (-ab)}) + (e ^ {i (a + b)} + e ^ {i (ab}) – e ^ {i (ba)} + e ^ {i (-ab)})} {4i} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2e ^ {i (a + b)} – 2e ^ {i (-ab)}} {4i} = \ frac {e ^ {i (a + b)} – e ^ {- i (a + b)}} {2i} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sin (a + b) [/ matemáticas]

Answer 3

La fórmula de Euler funciona en los cuatro cuadrantes:

[matemáticas] \ cos (a + b) + i \ sin (a + b) = e ^ {i (a + b)} = e ^ {ia} e ^ {ib} = (\ cos a + i \ sin a) (\ cos b + i \ sin b) [/ math]

[matemáticas] = (\ cos a \ cos b – \ sin a \ sin b) + i (\ cos a \ sin b + \ sin a \ cos b) [/ matemáticas]

Igualar partes reales e imaginarias:

[matemáticas] \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b – \ sin a \ sin b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (a + b) = \ cos a \ sin b + \ sin a \ cos b [/ matemáticas]

Answer 4

Primero demostremos cos (a + b) y luego usaremos el resultado para probar el pecado (a + b)

Ahora puede usar cualquiera de estos 3 resultados para obtener sin (ab).