¿Qué ha dejado particularmente perplejos a los matemáticos al intentar probar el quinto postulado?

Answer 1

Lo que los dejó perplejos es que no se puede hacer. Hoy sabemos que hay modelos de geometría perfectamente coherentes (y sorprendentemente útiles) en los que el quinto postulado es falso, al igual que hay otros en los que es cierto.

¿Qué les impidió darse cuenta de esto por alrededor de 2100 años? El obstáculo principal, creo, es psicológico. La geometría es muy visual. Al trabajar con construcciones geométricas y probar cosas sobre ellas, es difícil para cualquiera sacudirse su intuición visual y trabajar limpia y genuinamente simplemente con las consecuencias formales de las relaciones entre los objetos en cuestión.

Podemos observar esto, por ejemplo, en la trágica historia de Giovanni Saccheri, quien, ya en 1733, estuvo muy cerca de descubrir oficialmente la geometría no euclidiana.

Saccheri estaba tratando de probar el quinto postulado asumiendo que es falso. Valientemente se aventuró en el mundo lógico de las consecuencias que surge cuando se supone que es falso. Llegó bastante lejos, demostrando una variedad de resultados correctos que hoy se considerarían teoremas de la geometría hiperbólica. Por ejemplo, logró mostrar que los triángulos no pueden tener áreas tan grandes como quieras.

Luego, abruptamente, su intuición se apoderó de él y afirmó que el escenario resultante es “repugnante a la naturaleza de las líneas rectas”. ¡Qué vergüenza! No podía librarse del estado mental en el que se encontraba: estaba tratando de demostrar que el postulado es verdadero, es decir, que su refutación es falsa. Si se hubiera dado cuenta de que en realidad estaba haciendo algo diferente, a saber, construir un nuevo modelo de geometría, sería aclamado como un héroe de la imaginación y los logros humanos.

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Otro desafío, aunque creo que es más leve, es que los axiomas de Euclides están lejos de ser rigurosos y completos. Pasó otro siglo después del descubrimiento de la geometría hiperbólica antes de que Hilbert escribiera un conjunto de axiomas completamente riguroso, y lo curioso es que trabajar con axiomas tan rigurosos es realmente más fácil que trabajar con Euclides con los parciales y vagamente correctos. Uno puede trabajar de manera muy mecánica y formal, y nunca hay duda de si una derivación es correcta o no.

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EDITAR: Escribí un último párrafo, reproducido a continuación, asumiendo que dice algo no controvertido. Estaba equivocado. Tergiversa las raíces del problema, que creo que tienen mucho que ver con el dogmatismo religioso, pero ciertamente son más complicados que “todo es culpa de la iglesia”. Eso ciertamente no es cierto.

Creo que hay un amplio acuerdo de que las matemáticas (y las ciencias naturales relacionadas) se desarrollaron tremendamente rápido en la antigua Grecia y luego nuevamente desde el siglo XVII en adelante. Eso no quiere decir que no pasó absolutamente nada durante 1,000 años, pero la tasa de desarrollo es marcadamente diferente en estos tres períodos (en Europa). Por qué sucedió esto es una pregunta más compleja, y el consenso científico al respecto es menos claro de lo que pensaba.

Aquí está el párrafo original que había escrito aquí:

Finalmente, por supuesto, está la cuestión de por qué casi no se hicieron progresos en Europa entre aproximadamente 400 CE y aproximadamente 1600 CE, en torno a cualquiera de los enormes logros matemáticos y científicos de los griegos. Obviamente, esta es una pregunta compleja, pero una parte importante de la respuesta tiene que ver con el surgimiento del cristianismo. Pocas cosas sofocan la curiosidad y el progreso de manera más efectiva que el dogmatismo religioso.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de Alon Amit a ¿Qué ha dejado particularmente perplejos a los matemáticos cuando intentan probar el quinto postulado ?, pero quiero decir algo más.

Creo que durante muchos siglos la geometría se consideró más o menos lo que dice su nombre, la ciencia de las mediciones de la Tierra. De hecho, las personas que se dan cuenta de que la Tierra es redonda y que está incrustada en un espacio que parece plano, la geometría tenía que ser una forma de formalizar nuestras intuiciones y conocimientos sobre el espacio. También prevaleció pensar que nuestra intuición está conectada con la realidad en algún nivel profundo y metafísico (piense, por ejemplo, en la opinión de Kant de que la noción de espacio es a priori para nuestra intuición).

Entonces, la experiencia y la intuición dijeron que el quinto postulado tenía que ser cierto. Pero mientras que los otros postulados eran tan simples de formular y comprender, el quinto parecía innecesariamente complicado. Por lo tanto, parecía que podría derivarse como consecuencia de los demás. La razón por la que fracasaron todos los intentos de reducirlo a los demás es que es de hecho independiente, como las geometrías no euclidianas finalmente lograron demostrar. Pero esta intuición de que el espacio en geometría debería ser plano minó la mente de incluso los mejores matemáticos, como Gauss, que se acercaron mucho.

Creo que una formulación más simple e intuitiva de la quinta hubiera sido debatir en términos de invariancia de escala . Entre las tres posibles geometrías tridimensionales, la Euclidiana es la única que es independiente de la escala. La invariancia de traslación y rotación es satisfecha por los tres, pero la invariancia de escala solo por la geometría euclidiana. Esto tiene mucho más sentido y es más natural que el postulado de los paralelos. Pero tiene más sentido ahora, cuando vemos la geometría como el estudio de grupos de transformación, después del Programa Erlangen de Klein. Siglos atrás, esta idea de invariancia era solo una intuición que la gente tenía, pero no era explícita en la formulación de geometría de Euclides.

Claramente, Euclides tenía la intuición de la invariancia, en particular de la invariancia de escala. Esto se gana fácilmente, después de comprender la similitud de los triángulos. Pero es importante recordar que la geometría era una ciencia experimental, basada en construcciones geométricas que usaban la regla y la brújula . Entonces, la forma más simple de pasar a los estudiantes las nociones de geometría fue, de hecho, a través del postulado paralelo. La noción de invariancia, en particular de la invariancia de escala, es una forma global y abstracta de ver la geometría, por lo que Euclides tuvo que formularla de la manera más local y sintética posible. Obtuvo la intuición de sus axiomas después de hacer muchas construcciones geométricas utilizando la regla y la brújula. La noción de invariancia de escala no es algo que pueda probarse fácilmente con la regla y la brújula, no puede simplemente acercar y alejar el trozo de papel. Entonces, tal vez se dio cuenta de que el quinto postulado era independiente de su experiencia en construcciones geométricas. No sé si pasó mucho tiempo tratando de obtener el quinto de los otros postulados, pero el punto es que se dio cuenta de que tenía que agregarlo, y lo hizo de esta forma por dos razones:

• experiencia en construcciones geométricas de regla y compás,
• y porque fue útil para ser conectado a las pruebas de otros resultados, específicos de la geometría euclidiana.

Así que creo que hay algunas preguntas interesantes relacionadas con la pregunta que se hizo, y también intenté tocarlas aquí:

• ¿Por qué la gente tuvo tantas dificultades para aceptar el quinto postulado como independiente? Creo que la respuesta es que los geómetras tenían la intuición de la invariancia de escala, pero no podían hacerlo explícito, por lo que pensaron que ya estaba en los otros postulados.
• ¿Por qué tomó tanto tiempo demostrar la independencia del quinto postulado, mientras que Euclides y muchos otros se dieron cuenta de esto? Creo que aquí la respuesta es que los geómetras querían estar anclados en la realidad, la geometría fue una ciencia experimental durante mucho tiempo. Los modelos bidimensionales no euclidianos, aunque pueden integrarse en el espacio euclidiano al menos localmente, o debido a esto, se consideraron casos particulares de superficies en geometría euclidiana tridimensional. Y los modelos tridimensionales no podían integrarse y, por lo tanto, no eran naturales ni físicos. Entonces, en ese momento en geometría era muy descabellado referirse a objetos físicamente inexistentes para probar verdades sobre los físicamente existentes. Es bueno que Riemann tuviera la idea descabellada de que tal vez la materia sea una manifestación de la curvatura del espacio, por lo que descubrió la noción de geometría curva. Esto legitimó modelos anteriores de geometría no euclidiana debido a Gauss, Schweikart, Bolyai y Lobachevski.

Hoy, estos problemas parecen muy simples, y es difícil para nosotros entender por qué les tomó tanto tiempo a los geómetras darse cuenta de ellos, porque

• ahora sabemos que la geometría es el estudio de las transformaciones de algún espacio,
• y debido a que ahora las matemáticas se emancipan de la dictadura de la realidad física, podemos idear modelos para cualquier sistema axiomático.

Answer 3

Los matemáticos no están perplejos. Eugenio Beltrami demostró que el quinto postulado de Euclides no siguió a los primeros cuatro de 1868.

Answer 4

Nada ha desconcertado a los matemáticos sobre el quinto postulado (paralelo).

Como 180 grados es medio círculo, es un diámetro (a). Un diámetro es el acorde más largo.

Si tuviera que dividir el ángulo 180 en dos secciones (digamos 83 y 97), si una línea separada (b) sería paralela si esos ángulos serían 97 y 83.

Como [matemáticas] 83 (en a) +97 (en b) = 180 [/ matemáticas], y son paralelas, si dos ángulos opuestos, a y b satisfacen [matemáticas] a + b = 180 [/ matemáticas], son paralelos