17 personas se sientan en una fila. 2 vestidos de rojo, 3 azules y 12 amarillos. ¿Cuál es la P que una persona de azul se sentará junto a una persona de rojo? ¿¿Por qué??

Answer 1

Una versión de la pregunta era (verla en el historial de edición):

9 personas se sientan en una fila. 2 vestidos de rojo, 3 azules y 4 amarillos. ¿Cuál es la P que una persona de azul se sentará junto a una persona de rojo? ¿¿Por qué??

La respuesta que sigue responde a esa pregunta. Se puede usar fácilmente el mismo enfoque para diferentes números en la nueva versión de la pregunta.

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Dado que lo único que nos importa es el color de la ropa de la persona, dos personas que usan el mismo color son indistinguibles. Por lo tanto, los arreglos para sentarse donde 2 personas que usan posiciones de intercambio del mismo color son equivalentes. Esto significa que estamos hablando de combinaciones (al contrario de las permutaciones).

El número de formas de organizar a 9 personas, donde 3 pertenecen a la colección Azul, 2 pertenecen a la colección Roja y 4 pertenecen a la colección Amarilla es:

[matemáticas] N = 9! / (3! * 2! * 4!) = 1260 [/ matemáticas]

donde [math] n! [/ math] representa n factorial.

De un total de [matemática] N [/ matemática] formas de organizar a estas 9 personas, algunos arreglos de [matemática] m [/ matemática] tienen la propiedad de que al menos 1 persona en Azul está sentada junto a al menos 1 persona en rojo. Al mismo tiempo, los arreglos [math] m ‘= N – m [/ math] no tienen esta propiedad, y puede ser más fácil contar estos casos.

Pongamos a las personas amarillas en sillas para que haya suficiente espacio al lado de cualquiera de ellas para el resto de las personas como en la figura:

Ahora contemos las formas en que las personas Rojas y Azules no se sientan una al lado de la otra. Hay 5 regiones separadas por personas amarillas y las personas azules y rojas no deben ocupar la misma región porque entonces estarían sentadas una al lado de la otra.

Podemos poner 3 personas azules:

1. sentarse todos juntos en un grupo (5 regiones para elegir, quedan 4 regiones para las personas rojas),
2. sentarse dividido entre un grupo de 2 y 1 (5 * 4 regiones para elegir, quedan 3 regiones para las personas rojas),
3. todos se sientan separados el uno del otro (5 * 4 * 3 regiones para elegir (tenga en cuenta las repeticiones), quedan 2 regiones para las personas rojas).

Deje que [math] x [/ math] sea un número de regiones disponibles después de que las personas azules hayan sido ubicadas.

Para cada una de las ubicaciones para personas azules, podemos poner 2 personas rojas:

1. sentarse ambos juntos (en [matemáticas] x [/ matemáticas]),
2. sentarse separados el uno del otro (en [matemáticas] x * (x – 1) / 2 [/ matemáticas] formas).

De esto sigue:

[matemáticas] m ‘= 5 * (4 + 4 * 3/2) + 5 * 4 * (3 + 3 * 2/2) + 5 * 4 * 3/3! * (2 + 2 * 1/2) = 50 + 120 + 30 = 200 [/ matemáticas]

La probabilidad solicitada es entonces:

[matemáticas] p = m / N = (N – m ‘) / N = 1060/1260 = 0.8413 [/ matemáticas]

Para verificar el resultado, se puede usar una simulación similar a la siguiente (escrita en Matlab / Octave):

% Rojo = -1, azul = 1, amarillo = 2
personas = [-1 -1 1 1 1 2 2 2 2];

% de todas las permutaciones de personas sentadas
p = permisos (personas);

% de permutaciones desplazadas por 1 a la derecha
xp = [ceros (tamaño (p, 1), 1), p];
px = [p, ceros (tamaño (p, 1), 1)];

% Rojo junto al azul provocaría que -1 y 1 se cancelen y den 0
n = max ((xp + px) == 0, [], 2);

probabilidad = suma (n) / longitud (n)

El resultado obtenido a través de la simulación es igual al mencionado anteriormente (0.8413).

Answer 2

Generalización:

Hay [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math] personas sentadas en una fila. [math] m \ in \ mathbb {N} [/ math] de ellos están vestidos de rojo, y [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] de ellos están vestidos de azul (donde [math] m + n \ leq k [/ matemáticas]). Deseamos encontrar la probabilidad de que [math] \ geq 1 [/ math] la persona vestida de rojo se siente al lado de [math] \ geq 1 [/ math] la persona vestida de azul, suponiendo que el asiento sea completamente aleatorio.

Para nuestra pregunta específica, [matemática] k = 17 [/ matemática], [matemática] m = 2 [/ matemática] y [matemática] n = 3 [/ matemática]. Para la pregunta anterior, tuvimos [matemática] k = 9 [/ matemática], [matemática] m = 2 [/ matemática] y [matemática] n = 3 [/ matemática].

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Responder:

La respuesta es [math] \ boxed {1-f_k (m, n)} [/ math], dadas las siguientes definiciones de funciones:

[matemáticas] f_k (m, n) = \ begin {cases} 1 & \ text {,} k = 0 \\ \ frac {m} {k} g_ {k-1} (m-1, n) + \ frac {n} {k} h_ {k-1} (m, n-1) + \ frac {kmn} {k} f_ {k-1} (m, n) & \ text {, de lo contrario} \ end { casos} [/ math].

[matemáticas] g_k (m, n) = \ begin {cases} 1 & \ text {,} n = 0 \ text {or} k = 0 \\ \ frac {m} {k} g_ {k-1} ( m-1, n) + \ frac {kmn} {k} f_ {k-1} (m, n) & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ math].

[matemáticas] h_k (m, n) = \ begin {cases} 1 & \ text {,} m = 0 \ text {or} k = 0 \\ \ frac {n} {k} h_ {k-1} ( m, n-1) + \ frac {kmn} {k} f_ {k-1} (m, n) & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ math].

Para nuestra pregunta específica, [matemáticas] 1-f_ {17} (2,3) = \ boxed {\ frac {67} {119}} \ aproximadamente 56.3 \% [/ matemáticas]. Para la pregunta anterior, [matemáticas] 1-f_ {9} (2,3) = \ boxed {\ frac {53} {63}} \ aproximadamente 84.1 \% [/ matemáticas].

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Razonamiento:

Es más fácil calcular la probabilidad del complemento de nuestro evento deseado y restarlo de [math] 1 [/ math]. Defina [math] f_k (m, n) [/ math] para que sea la probabilidad de que ninguna de las personas vestidas de rojo [math] m [/ math] se siente junto a ninguno de los [math] n [/ math] blue- personas vestidas, dado que quedan [math] k [/ math] total de personas para sentarse. Además, esta función supone que hasta ahora, 1) ninguna persona se ha sentado o 2) la última persona sentada no llevaba ni un vestido rojo ni azul. Por lo tanto, debería ser obvio que estamos buscando [matemática] 1-f_k (m, n) [/ matemática], ya que queremos la probabilidad de que [matemática] \ geq 1 [/ matemática] la persona vestida de rojo se siente al lado de un persona vestida de azul.

Defina [math] g_k (m, n) [/ math] como la probabilidad de que ninguna de las personas vestidas de rojo [math] m [/ math] se siente junto a ninguno de los [math] n [/ math] blue- personas vestidas, dado que quedan [math] k [/ math] total de personas para sentarse. Además, esta función supone que hasta ahora, la última persona sentada llevaba un vestido rojo. Defina [math] h_k (m, n) [/ math] como la probabilidad de que ninguna de las personas vestidas de rojo [math] m [/ math] se siente al lado de cualquiera de los [math] n [/ math] blue- personas vestidas, dado que quedan [math] k [/ math] total de personas para sentarse. Además, esta función supone que hasta ahora, la última persona sentada llevaba un vestido azul.

Dadas estas definiciones de funciones, podemos definir recursivamente [math] f_k [/ math] en términos de [math] f_ {k-1} [/ math], [math] g_ {k-1} [/ math] y [ matemáticas] h_ {k-1} [/ matemáticas], simulando (con probabilidad relevante) el asiento de la siguiente persona, como se muestra en la sección Respuesta . Por ejemplo, con probabilidad [matemática] \ frac {m} {k} [/ matemática], la siguiente persona sentada usará un vestido rojo, y multiplicaríamos esa probabilidad por [matemática] g_ {k-1} (m -1, n) [/ math] ya que [math] g [/ math] corresponde a la situación en la que la última persona sentada estaba vestida de rojo. Habría personas [matemáticas] k-1 [/ matemáticas] para sentarse, de las cuales [matemáticas] m-1 [/ matemáticas] llevaría un vestido rojo y [matemáticas] n [/ matemáticas] llevaría un vestido azul.

Answer 3

No hay respuesta ya que no sabemos lo suficiente sobre las personas. ¿Uno de los vestidos de azul es amigo de uno vestido de amarillo? ¿No le gustan los dos vestidos de rojo?

Pero supongamos que están en orden aleatorio. El número total de posiciones (sin tener en cuenta el orden dentro de los colores) es 9! / (2! 3! 4!). Ahora considere el número de posiciones en las que un azul está al lado de un rojo. Editar: mi método propuesto no funcionó. Obtuve 2/3, pero gracias a las simulaciones de Ivan Razumenic e Ian Rayner, la respuesta parece ser del 84%, o 1059/1260. Con 1 millón de pruebas, 1059 tiene una desviación estándar de 0.5, por lo que probablemente esté dentro de 1 del numerador correcto.