El pentágono es interesante para (al menos algunos) matemáticos porque es el polígono más pequeño que es capaz de hacer ciertas cosas interesantes.
Cuáles son esas cosas dependen del investigador.
Para algunos, está embaldosando el avión. Algunos artículos recientes de pop-sci han discutido este problema con algunos nuevos descubrimientos reportados. Lo básico de lo que recuerdo (y con la ayuda de Wikipedia) es que un mosaico pentagonal del plano es una cubierta del plano por formas pentagonales. Si solo se usa una forma pentagonal, se dice que este mosaico es monoédrico . Cualquier triángulo y cualquier cuadrilátero revestirán el plano de forma monoédrica (que incluye, cuando sea necesario, rotaciones y reflejos de la forma). Los pentágonos son el primer polígono para el que solo algunos pueden enlosar el plano. De hecho, hay exactamente ocho inclinaciones pentagonales monoédricas de borde a borde, y actualmente solo se conocen quince inclinaciones monoédricas (es decir, hay siete inclinaciones conocidas sin borde a borde, aunque algunas de ellas tienen grados de libertad) . También debo mencionar que estas son inclinaciones monoédricas periódicas: las inclinaciones aperiódicas también son posibles con pentágonos, y la madriguera del conejo se hace más profunda. Y también que hasta ahora estos detalles solo han sido para pentágonos convexos . También existen inclinaciones pentagonales no convexas. ¿Mencioné más profundo?
Aún más profundo: hasta ahora, lo anterior solo ha sido para el avión euclidiano. También hay un mosaico de la esfera por pentágonos: el dodecaedro (uno de los sólidos de Archimedean). También hay inclinaciones del plano hiperbólico por pentágonos (es cierto que algunas cosas se vuelven más fáciles de hacer en el plano hiperbólico, donde solo hay más “espacio” para colocar cosas, pero viene con su propio sabor de rareza, aunque considero que esto es un ¡Buena cosa!).
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Mi supervisor de doctorado tenía un proyecto de honores que mi colega (que recientemente se graduó de su doctorado junto a mí) tomó su año de honores. La esencia del proyecto fue la siguiente:
Asignamos unidades de masa a los vértices de figuras poligonales en el plano con longitudes laterales unitarias fijas, y fijamos el centro de masa en el origen en un marco inercial. El triángulo no tiene grados de libertad para la deformación. Un cuadrilátero solo se puede exprimir o estirar alternativamente a lo largo de sus diagonales. Sin embargo, un pentágono es el primer polígono para el cual existen deformaciones no triviales. La pregunta estudiada, entonces, es ¿qué secuencias periódicas y suaves de deformación con un momento angular total que desaparece dan como resultado la mayor rotación del polígono cuando vuelve a su forma original? Esta cantidad angular se conoce como fase geométrica , porque es la rotación debido al cambio de forma de la estructura o sistema bajo investigación. De hecho, los gatos explotan instintivamente la fase geométrica para aterrizar sobre sus pies si caen desde una posición invertida. (Y la rotación debido al componente de momento angular de un sistema se llama fase dinámica ; esto, por supuesto, desaparece cuando lo hace el momento angular). *
Quizás relacionado, quizás no, pero el polinomio quintico es el polinomio de menor grado para el cual no existe una expresión de forma cerrada para sus raíces.
Para obtener algunos datos adicionales sobre el número 5 (y estoy seguro de que puedes encontrar otros), 5 es el primer número primo no consecutivo. También es miembro del primer par de primos gemelos, y el único primo que forma parte de dos pares diferentes de primos gemelos.
Seamos realistas: ¡5 es interesante, y los pentágonos, por lo tanto, no menos!
* Tanto mi colega como yo estudiamos temas relacionados en nuestros doctorados, pero en sistemas muy diferentes y desde perspectivas muy diferentes: estudió buzos y las dinámicas de su movimiento relacionadas con la fase geométrica; y estudié algo de fase geométrica en el problema de los 3 cuerpos. Curiosamente, cuando reduce mediante simetrías continuas y fija la energía, el sistema evoluciona en una superficie de energía en el espacio de fase de dimensión 5.