La base de una pirámide derecha es un triángulo equilátero de 4 cm de lado y borde inclinado de 5 cm. Encontrar el volumen de la pirámide?

Answer 1

-R2A-

Bueno, esa es la duda más extraña que he visto. No significaba ofenderte o desmoralizarte. Es bueno tener una duda y aclararla.

Recordemos una propiedad importante de un triángulo equilátero. [matemáticas] \ rightarrow [/ matemáticas] Centroide, ortocentro, circuncentro e incentro, todos coinciden en el mismo punto.

Debe comprender que la altura desde el punto superior de la pirámide caída en el centroide o incentro del triángulo equilátero en la base es perpendicular en el centroide o incentro. Inradius siendo perpendicular al lado del triángulo equilátero es válido pero eso estoy lejos de considerarlo.

Entonces, el triángulo rectángulo en el que nos estamos enfocando es el triángulo formado por la altura, el radio y la altura inclinada. Mira la figura de abajo.

[matemática] \ Rightarrow \ h ^ 2 + r ^ 2 = l ^ 2 [/ matemática]

No estoy seguro de si eso aclara sus dudas, pero esto es lo mejor que puedo hacer aquí en esta plataforma.

Answer 2

El perpendicular dibujado desde el vértice de la pirámide hasta el triangular lo golpeará justo en el centro del perpendicular dibujado desde cualquier vértice del triángulo hacia el lado opuesto.

[matemáticas] \ text {Área del triángulo equilátero} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {4} \ veces 4 ^ 2 = 4 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ veces 4 \ veces x = 4 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} x = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] h = \ sqrt {5 ^ 2 – (\ sqrt {3}) ^ 2} = \ sqrt {22} [/ matemáticas]

[matemática] \ text {Volumen} = \ dfrac {1} {3} \ times \ text {área base} \ times \ text {height} [/ math]

Esto realmente recuerda el área de un tetraedro, que es lo que muestra la figura.

[matemáticas] V = \ dfrac {1} {3} \ veces 4 \ sqrt {3} \ veces \ sqrt {22} = \ dfrac {4 \ sqrt {66}} {3} [/ matemáticas]

Answer 3

Para encontrar la altura, use la relación mencionada a continuación;

altura inclinada ^ 2 = incentivo ^ 2 + altura ^ 2

Ponga el valor del lado del triángulo para encontrar el incentivo y luego puede obtener fácilmente la altura. Ponga todos los valores en la fórmula del volumen de la pirámide (base triangular). Obtendrás la respuesta.

Answer 4

Como el interrogador mencionó el borde inclinado, supongo que el borde inclinado es el segmento de línea que une el vértice de una pirámide derecha al vértice de su base n-gonal regular.

Considere una pirámide derecha que tiene una base poligonal regular de [matemáticas] n [/ matemáticas] no. de lados cada uno de longitud [matemática] a [/ matemática] y longitud del borde inclinado [matemática] l [/ matemática].

Ahora, el radio circunscrito [matemática] R [/ matemática] de una base n-gonal regular con longitud lateral [matemática] a [/ matemática] se da como

[matemáticas] R = \ frac {a} {2} \ csc \ frac {\ pi} {n} [/ matemáticas]

ahora altura normal de la pirámide derecha

[matemáticas] H = \ sqrt {l ^ 2-R ^ 2} = \ sqrt {l ^ 2- \ left (\ frac {a} {2} \ csc \ frac {\ pi} {n} \ right) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {l ^ 2- \ frac {a ^ 2} {4} \ csc ^ 2 \ frac {\ pi} {n}} [/ matemáticas]

Ahora el volumen de una pirámide derecha con base regular n-gonal

[matemática] V = \ dfrac {1} {3} \ times (\ text {área de base n-gonal regular}) \ times (\ text {altura normal del vértice desde la base (H)}) [/ math]

[math] = \ dfrac {1} {3} \ times \ left (\ frac {1} {4} na ^ 2 \ cot \ frac {\ pi} {n} \ right) \ times \ sqrt {l ^ 2 – \ frac {a ^ 2} {4} \ csc ^ 2 \ frac {\ pi} {n}} [/ math]

[matemáticas] \ bbox [5pt, borde: 2.5pt sólido # FF0000] {\ color {azul} {V = \ dfrac {1} {12} na ^ 2 \ cot \ frac {\ pi} {n} \ sqrt { l ^ 2- \ frac {a ^ 2} {4} \ csc ^ 2 \ frac {\ pi} {n}}}} [/ math]

Arriba está la fórmula general aplicable para calcular el volumen de cualquier pirámide derecha con base n-gonal regular del lado [matemática] a \ \ text {& longitud del borde inclinado} \ l [/ matemática]

ahora, estableciendo [matemáticas] a = 4 cm, l = 5 cm, n = 3 \ \ text {obtenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] V = \ dfrac {1} {12} \ cdot 3 \ cdot 4 ^ 2 \ cot \ frac {\ pi} {3} \ sqrt {5 ^ 2- \ frac {4 ^ 2} {4} \ csc ^ 2 \ frac {\ pi} {3}} [/ math]

[matemáticas] V = \ color {azul} {\ frac {4 \ sqrt {59}} {3}} \ aprox. 10.24152766 \ cm ^ 3 [/ matemáticas]

La altura inclinada es la altitud del triángulo que comprende la cara lateral de una pirámide, por lo tanto, se da el volumen de cualquier pirámide derecha con base n-gonal regular del lado [matemáticas] a \ \ text {& altura inclinada} \ s \ \ text { como} [/ math]

[matemáticas] \ bbox [5pt, borde: 2.5pt sólido # FF0000] {\ color {azul} {V = \ dfrac {1} {12} na ^ 2 \ cot \ frac {\ pi} {n} \ sqrt { s ^ 2- \ frac {a ^ 2} {4} \ cot ^ 2 \ frac {\ pi} {n}}}} [/ matemáticas]

ahora, si la altura inclinada de la pirámide dada es [matemática] s = 5 cm [/ matemática] [matemática] \ \ text {entonces el volumen de la pirámide} [/ matemática]

[matemáticas] V = \ dfrac {1} {12} \ cdot 3 \ cdot 4 ^ 2 \ cot \ frac {\ pi} {3} \ sqrt {5 ^ 2- \ frac {4 ^ 2} {4} \ cot ^ 2 \ frac {\ pi} {3}} [/ math]

[matemática] V = \ color {azul} {\ frac {4 \ sqrt {71}} {3}} \ aprox 11.23486636 \ cm ^ 3 [/ matemática]

Answer 5

El volumen será (4 underroot (71)) / 3

Volumen de la pirámide = 1/3 × área de base × altura

Área de base = raíz3 / 4 × 4 × 4

Altura = raíz 71 / raíz3