¿Cuál es el valor mínimo de [math] 2cosx + 8sec ^ 2x [/ math]?

Answer 1

Los pasos a continuación pueden ayudarlo a encontrar los valores máximos y mínimos de casi cualquier función [matemática] f (x): – [/ matemática]

1. encontrar la derivada de la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]
2. establecer la derivada [math] f ‘(x) [/ math] igual a [math] 0 [/ math]
3. encontrar las raíces de [matemáticas] f ‘(x) = 0 [/ matemáticas]
4. verifique cada raíz volviéndola a enchufar en la función [math] f (x) [/ math], compare esas salidas y gráficas

---

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 2 \ cos x + 8 \ sec ^ 2 x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = -2 \ sen x + 16 \ sec ^ 2 x \ tan x [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ text {setting} [/ math] [math] f ‘(x) \ text {igual a} 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle-2 \ sen x + 16 \ sec ^ 2 x \ tan x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica -2 \ sen x + 16 \ sec ^ 2 x \ sin x \ sec x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica -2 \ sen x + 16 \ sec ^ 3 x \ sin x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sin x (-2 + 16 \ sec ^ 3 x) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle \ implica \ sen x = 0 [/ matemática] [matemática]; [/ matemática] [matemática] -2 + 16 \ sec ^ 3x = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sin x = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica x = n \ pi [/ matemática] [matemática] \ text {donde n es par} [/ matemática]

[matemáticas] \ text {o} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica -2 + 16 \ sec ^ 3x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 2 (-1 + 8 \ seg ^ 3x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] -1 + 8 \ seg ^ 3x = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle \ implica [/ matemática] [matemática] 8 \ sec ^ 3x = 1 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {8} {\ cos ^ 3x} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] 8 = \ cos ^ 3 x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] 2 = \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] x = \ cos ^ {- 1} (2) [/ matemáticas]

---

así que primero revisemos la segunda raíz,

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 2 \ cos x + 8 \ sec ^ 2 x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica f (\ cos ^ {- 1} (2)) = 2 \ cos (\ cos ^ {- 1} (2)) + 8 \ sec ^ 2 (\ cos ^ {- 1} (2)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 (2) + \ frac {8} {\ cos ^ 2 (\ cos ^ {- 1} (2))} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 4 + \ frac {8} {\ cos (\ cos ^ {- 1} (2)) \ cos (\ cos ^ {- 1} (2))} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 4 + \ frac {8} {2 (2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 4 + \ frac {8} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 6 [/ matemáticas]

verifiquemos esto con la gráfica de [math] f (x) [/ math]

aha! entonces [math] 6 [/ math] es de hecho el valor mínimo de [math] f (x) [/ math] y el valor máximo de [math] f (x) [/ math] parece ser [math] \ infty [/matemáticas]

Answer 2

Supongamos que f (x) = 2 cos x + 8 seg ^ 2x = cos x + cos x + 8 (seg x) ^ 2

Usando AM (media aritmética) ≥ GM (media geométrica)

AM = (cos x + cos x + 8 seg ^ 2x) / 3 = f (x) / 3

GM = (cos x * cos x * 8 segundos ^ 2x) ^ (1/3) = (8) ^ (1/3) = 2

Ahora usando el teorema

f (x) / 3 ≥ 2

f (x) ≥ 6

Por lo tanto, el valor mínimo de la función dada es 6.

Answer 3

La respuesta es 6

Aquí, 2cosx + 8 / cos ^ 2x será mínimo cuando cosx sea igual a negativo con un valor numérico máximo porque el cuadrado será positivo, por lo que sabemos que cosπ = -1 así.