Cómo evaluar [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow y} \ frac {\ sin {x} – \ sin {y}} {x ^ {3} -y ^ {3}}

Answer 1

La pregunta está en la forma [math] 0/0 [/ math], por lo que podemos usar la regla de L’Hospitals para resolverla. ¡Hurra!

Establece [matemáticas] Lt (x-> y) f (x) / g (x) = Lt (x-> y) f ‘(x) / g’ (x) [/ matemáticas]

En nuestro caso, [math] f (x) = sinx – siny [/ math]

Entonces, [matemáticas] f ‘(x) = d (f (x)) / dx = d (sinx) / dx – d (siny) / dx = cosx – 0 = cosx [/ matemáticas]

Y [matemáticas] g (x) = x ^ 3 – y ^ 3 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] g ‘(x) = d (g (x)) / dx = d (x ^ 3) / dx – d (y ^ 3) / dx = 3x ^ 2 – 0 = 3x ^ 2 [/ matemáticas]

Dividiendo estos dos: [matemática] f ‘(x) / g’ (x) = cosx / 3x ^ 2 [/ matemática]

Entonces, la pregunta se reduce a [matemáticas] Lt (x-> y) cosx / 3x ^ 2 [/ matemáticas]

Aplicando el límite, la respuesta es: [matemáticas] cos (y) / 3y ^ 2 [/ matemáticas]

Problema resuelto 🙂

Answer 2

Si realmente quiere hacerlo con la regla de L’Hospital, reduzca el problema a una sola variable usando la sustitución [matemática] x = y + h [/ matemática] y [matemática] h \ a 0 [/ matemática]. Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {\ sin (y + h) – \ sin y} {(y + h) ^ 3 – y ^ 3} [/ matemáticas]

Diferenciar numerador y denominador con respecto a [matemáticas] h [/ matemáticas]. El límite se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ dfrac {\ cos (y + h)} {3 (y + h) ^ 2} = \ dfrac {\ cos y} {3y ^ 2} [/ math ]

Answer 3

Bien, aquí va …

En el límite mencionado anteriormente en la pregunta, dice [math] x \ to y [/ math], lo que significa que se nos permite tomar [math] y [/ math] como una constante.

Ahora, aplicando la ley de L ‘Hospital

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ dfrac {\ sin x- \ sin y} {x ^ 3-y ^ 3} [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ dfrac {\ cos x} {3x ^ 2} [/ math]

Sustituya [matemáticas] x = y [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ dfrac {\ sin x- \ sin y} {x ^ 3-y ^ 3} = \ dfrac {\ cos y} {3y ^ 2} [/ math]

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} f (x) = \ frac {\ sin x – \ sin y} {x ^ 3-y ^ 3} [/ matemáticas]

usando l regla del hospital y diferenciando

Al usar la regla del hospital, diferenciamos numerador y denominador por separado con la variable límite (x aquí).

aquí el numerador es [matemáticas] \ sin x – \ sin y [/ matemáticas]

diferenciando wrt x obtenemos [math] \ cos x – 0 [/ math]

y el denominador es [matemáticas] x ^ 3-y ^ 3 [/ matemáticas]

diferenciando wrt x obtenemos [matemáticas] 3x ^ 2 [/ matemáticas]

poniéndolo en forma de fracción nuevamente obtenemos: –

[matemáticas] \ dfrac {\ cos x} {3x ^ 2} [/ matemáticas]

poniendo el límite

[matemáticas] \ dfrac {\ cos y} {3y ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 5

Me encanta L’Hopital, y generalmente aprovecho la oportunidad de aplicarlo, pero aquí podemos usar una de las fórmulas de paliza:

[matemáticas] \ sin x – \ sin y = 2 \ cos \ dfrac {x + y} {2} \ sin \ dfrac {xy} {2} [/ matemáticas]

También usaremos el hecho como [matemáticas] x \ to y [/ matemáticas], luego [matemáticas] \ dfrac {xy} {2} \ a 0, [/ matemáticas] así que [matemáticas] \ sin \ dfrac {xy } {2} \ to \ dfrac {xy} {2} [/ math]. También [matemáticas] (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = x ^ 3-y ^ 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ frac {\ sin {x} – \ sin {y}} {x ^ {3} -y ^ {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ frac {2 \ cos \ dfrac {x + y} {2} \ sin \ dfrac {xy} {2}} {x ^ {3} -y ^ {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ frac {2 \ dfrac {xy} {2} \ cos \ dfrac {x + y} {2}} {x ^ {3} -y ^ {3 }}[/matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ dfrac {xy} {x ^ {3} -y ^ {3}} \ cos \ dfrac {x + y} {2} [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to y} \ dfrac {1} {x ^ 2 + xy + y ^ 2} \ cos \ dfrac {x + y} {2} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {y ^ 2 + y (y) + y ^ 2} \ cos \ dfrac {y + y} {2} [/ matemáticas]

[math] = \ dfrac {\ cos y} {3y ^ 2} [/ math]

---

Aquí hay una derivación de la fórmula sinusoidal de la fórmula del ángulo de suma seno:

[matemáticas] \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (a – b) = \ sin a \ cos b – \ cos a \ sin b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (a + b) – \ sin (ab) = 2 \ cos a \ sin b [/ matemáticas]

Sea [math] x = a + b [/ math], [math] y = ab [/ math]. Entonces [math] a = \ dfrac {x + y} {2} [/ math] y [math] b = \ dfrac {xy} {2} [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ sin x – \ sin y = 2 \ cos \ dfrac {x + y} {2} \ sin \ dfrac {xy} {2} [/ matemáticas]

Answer 6

COMO AMBOS, NÚMERO Y DENOM ESTÁN CERCA DE CERO, l’HOPITAL ISS APLICABLE

LIM F (X) / g (x) = Lim F ‘(x) / g’ (x) = Lim cos (x) / 3x ^ 2 = cos (y) / 3y ^ 2

cuidado con x → y significa que x es una variable e y es una constante, por lo que cos (y) y 3y ^ 2 no tienen sentido, no se diferencia con respecto a una constante. Aparecen al reemplazar x por y al calcular el límite.

Answer 7

No veo de todos modos la regla de L’Hopital. Puede usar la fórmula sin (x) / x-> 1 cuando x-> 0. Pero eso se deriva de la regla de L’Hopital.

Answer 8

Tome la derivada del numerador y el denominador, y evalúe el límite.

cos (y) / 3y ^ 2