Para 1951, a los 4 años, me habían introducido en los números y, en poco tiempo, me encontré completamente enganchado. Mi padre estaba muy metido en las matemáticas, pero había rechazado los estudios ortodoxos en la ciencia convencional, y prefería estudiar las páginas financieras: ganaba dinero. Mi abuelo era golfista y me llevaría a un campo de golf cercano, donde se reuniría con 3 amigos. Sus amigos estaban jubilados y habían estado activos en arqueología; o había sido, y siguió siendo, estudioso de las matemáticas; con un poco centrado en la historia de Babilonia.
La conversación con estos chicos estaba fuera de escala en emoción y descubrimiento. Mi ávido cuestionamiento fue recibido con una gracia maravillosa, y mi educación en teoría acaba de despegar. Fui bendecido con una enseñanza, no revelada a muchos, de que en esta antigua civilización, de hecho, había dos idiomas distintos de lógica basada en números: uno para el mercado y la vida cotidiana en general; el otro se perseguía en privado en el Templo, y abarcó a los de la sociedad superior que fueron educados: sacerdotes, médicos, ricos comerciantes, gobernantes …
El lenguaje privado de los números tenía como objetivo principal el descubrimiento: estudiar los principios de construcción de la naturaleza e intentar formular las rutas de reproducción que apuntalaron el futuro de una especie. La matriculación se destacó fuertemente en la forma de expresión, y una de las principales funciones para obtener matrices llenas de elementos significativos fue la condensación de valores multinumerales en un solo entero de pureza (en relación con los enteros circundantes). La ruta hacia este logro fue un proceso conocido como adición fadic, utilizado principalmente en una filosofía moderna de sub-corriente llamada Numerology.
El desvanecimiento no tiene lugar ni función en ninguna rama moderna de las matemáticas, pero, hace miles de años, en la enseñanza privada y la práctica del lenguaje de exploración, el desvanecimiento tenía su función y era vital para condensar la ‘materia prima’ generada a partir de una matriz grande de enteros, usando 3 conjuntos de números por acción, hasta un número puro.
A través del proceso de compilación de un mapa de datos, ciertos EJEMPLOS tenían que cumplirse, todos se basaban en los valores 3 y 5. Si estos requisitos podían cumplirse por división, multiplicación, resta y suma, en todas las áreas de generación de mapas, entonces se produciría la producción de números ejemplares, en varios formatos, a través de estas funciones: en su lugar y hora de compilación del mapa numérico, 3.5; 111,5 (binario x.5); 35; 35 – 35; 3–5; 1–35; 175 + 175 = 350, demostraría la eficacia de la informática.
El lenguaje ahora ha sido completamente reconstituido por aquellos que están comprometidos con el idioma antiguo, y abre la puerta para comprender completamente el ámbito de la hiperprecisión, en el que las respuestas esperan, cuando los datos codificados, relevantes para la tarea, se programan en un generador madre que comprende una matriz de 144 potencias.
La facilidad de los números Ejemplares, abre el camino para verificar el funcionamiento del trabajo-producir uno de los 35 formatos, y después de haber generado el control-avance con confianza. El ejemplar nunca se ha encontrado en el trabajo fuera de curso y posteriormente resultó incorrecto.
¡Una maravillosa institución del lenguaje de hace mucho tiempo!
Un cordial saludo
Alan
En matemáticas, ¿cómo sabes cuándo has probado un teorema?
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Un teorema es un objeto en un lenguaje simbólico formal de la forma
En última instancia, usted sabe que su prueba es correcta si sabe que cada declaración y cada paso de la prueba son válidos (y que la declaración en sí es sensata, por supuesto).
¿Pero cómo sabes eso ?
A menudo, con pruebas simples, no tiene que trabajar demasiado para convencerse de que cada paso es válido. Sin embargo, si se trata de una prueba más complicada o sutil, es útil dividir partes de ella en lemas (que son teoremas, pero no se consideran lo suficientemente “importantes” por derecho propio como para llamarse teoremas) y para estar seguros de cada uno de ellos. y luego usarlos en la prueba del teorema principal. Esto crea un mapa conceptual en tu cabeza del terreno que has caminado para terminar tu prueba.
Desglosándolo así, puede convencer a otras personas de que su prueba es válida. De eso se trata la revisión por pares: convencer a un público escéptico de que sus afirmaciones son válidas. Si no está lo suficientemente seguro para cuando publique su resultado, quizás convenza a otras personas calificadas en las que confía para que puedan comprender la prueba y decirle con sinceridad si hay algún defecto que pueda funcionar.
A menos que tenga habilidades de razonamiento lógico perfecto (y quiero decir absolutamente infalible), nunca podrá estar seguro .
Puede tener una buena idea de que cada declaración en su prueba es lógicamente sólida, y que cada conexión que realiza es lógicamente sólida, pero aún existe la posibilidad de que haya pasado por alto algo. Es por eso que su prueba para un reclamo en particular será revisada varias veces por diferentes matemáticos, todos haciendo todo lo posible para encontrar un error en su prueba.
Conozca a Sir Andrew John Wiles, considerado uno de los mejores matemáticos vivos. Ha recibido varios honores por sus contribuciones a las matemáticas, incluidos el Premio Abel, el Premio Whitehead, la Placa de Plata IMU (esencialmente la Medalla Fields, pero se otorga a personas mayores de 40 años, ya que la Medalla Fields tiene una restricción de edad), e incluso fue nombrado caballero por su trabajo en matemáticas.
Alguien como este tipo seguramente atrapa todos sus propios errores lógicos, ¿verdad? Alguien como Wiles probablemente estaría seguro de haber demostrado un teorema, ¿verdad?
No. La mayor contribución de Wiles a las matemáticas fue proporcionar una prueba del último teorema de Fermat. Pasó 7 años en reclusión y secreto casi total demostrando este teorema aparentemente simple, usando conceptos matemáticos extremadamente complicados y avanzados. En 7 años, pensarías que uno de los mejores matemáticos vivos encontraría todos los errores en su propia prueba, ¿verdad?
Bueno, resulta que, dos meses después de que presentó su prueba, se encontró un error. Pasó un año tratando de corregir el error, sin éxito, hasta que uno de sus alumnos anteriores vino a trabajar con él. Después de otro año (en este momento estamos en un total de 9), los dos finalmente han presentado una prueba de que creen que no tuvo ningún error.
Y tenían razón. Pasó el escrutinio de la comunidad matemática, y el último teorema de Fermat fue finalmente probado. A pesar de ser un excelente matemático, Wiles aún no podía detectar uno de sus propios errores en una prueba. Entonces, para responder a su pregunta, incluso los mejores de nosotros no somos lo suficientemente buenos para una certeza del 100%.
Permítanme primero dar un poco de historia. Como sucede, este fondo en realidad responderá la pregunta por sí solo.
Las pruebas formales se componen esencialmente de dos cosas:
- Un conjunto inicial de declaraciones lógicas. Hay dos tipos de estos. El primero es el axioma, una afirmación que los matemáticos simplemente suponen que es cierto para comenzar. Como ejemplo, un axioma común es la suposición de que todos los ángulos rectos son congruentes. El segundo es todos los otros lemas y teoremas que otras personas han probado con éxito a partir de los axiomas.
- Una serie de manipulaciones de estas declaraciones iniciales, utilizando cualquiera de las reglas de la lógica, cada una de las cuales produce una declaración adicional. Por ejemplo, usando la regla (A => B y B => C) => (A => C), donde A, B y C son enunciados lógicos y => significa ‘implica’, para concluir que f (x ) = 10 => g (x) = 20 de f (x) = 10 => x = 5 y x = 5 => g (x) = 20 es una de esas manipulaciones. Cada manipulación puede hacer uso de declaraciones comprobadas de manipulaciones anteriores; así es como avanzan las pruebas.
El resultado de la última manipulación de la parte 2 es el teorema mismo.
Con todo eso, la respuesta a la pregunta es bastante clara: si comienza con solo declaraciones lógicas válidas y solo cambia sus declaraciones lógicas usando reglas lógicas que sabe que son válidas, ciertamente terminará con declaraciones más válidas. Así es como la gente sabe que sus pruebas son correctas.
En la práctica, esto puede ser difícil por dos razones. Primero, a veces es difícil saber exactamente cuáles son sus declaraciones. Se necesita mucho trabajo para refinar las ideas tanto. Y segundo, a menudo no está claro exactamente qué enunciados y qué reglas podría usar para obtener de los enunciados que tiene actualmente el teorema que está tratando de probar. Hay muchas conjeturas involucradas.
Epílogo
Ciertamente hay aguas más profundas aquí para ser exploradas. Solo algunas preguntas que uno podría hacer son: ¿cómo elige sus axiomas? ¿Cómo se prueban las reglas de la lógica?
Hay matemáticos que dedican sus vidas a resolver esto. Si bien su trabajo es muy importante, es una pequeña fracción de todas las matemáticas que se han hecho. La mayoría de las pruebas se basan en los métodos que describí anteriormente, dejando esas preguntas más profundas para que otros reflexionen.
Le pides a alguien de confianza que verifique tu trabajo. Siempre he hecho esto, licenciatura, graduación. y en el trabajo Luego lo empujas a un público más amplio. Finalmente, si escribe un documento, será revisado por un panel de expertos que no conoce. Incluso después de esto, los lectores de la revista encontraron errores en los que se publicó.
Recuerdo estar en una presentación de tesis cuando la persona que presentaba entró en una construcción de la función inversa. Un profesor del público se puso de pie y dijo que sé cuál es la función inversa. Caminó hasta el tablero y escribió la función inversa y un teorema que prueba la función inversa. El teorema no era conocido por el presentador ni por su asesor de tesis. El presentador, dijo entre risas después de la presentación, “20 páginas de su tesis se redujeron a 4 líneas”.
Hay un viejo dicho en matemáticas: “la primera prueba siempre está mal”.
Esto se encuentra en el corazón de la Filosofía de la Ciencia … ¿cuándo sabes realmente que has logrado probar algo? A diferencia de los tribunales de justicia, “el conjunto de pruebas es abrumador” o “precedente previo” no significa nada.
En mi experiencia, la prueba directa y la prueba por inducción matemática son, con mucho, los métodos más comunes.
La prueba directa se reduce al uso de teoremas existentes y probados para mostrar directamente que su idea debe ser cierta; de lo contrario, los teoremas conocidos más antiguos conducirán a contradicciones
La prueba por inducción matemática es usar algunos casos base y deducir que será para todos los casos usando algunos argumentos de expansión serie / infinito.
Ambos y otros se tratan ampliamente aquí: Prueba matemática
Wikipedia también tiene un artículo dedicado a las pruebas matemáticas si está buscando ejemplos:
Lista de pruebas matemáticas.
Gracias por el A2A. Supongo que hay muchas condiciones necesarias pero muy pocas condiciones suficientes. En otras palabras, su prueba debe pasar una lista de verificación de requisitos para ser válida, pero incluso después de pasarlos todos, uno rara vez está seguro de que la prueba sea correcta (al menos si es bastante sustancial).
Por ejemplo, una búsqueda exhaustiva por computadora se considera una técnica de prueba válida para algunos problemas, y si utiliza esa técnica, necesita que la computadora le diga que la búsqueda se completó con éxito para probar el teorema. Pero incluso entonces, debe asegurarse de que no haya errores en el código (o incluso en la compilación). Eso puede ser difícil de saber con certeza.
La revisión por pares es ciertamente necesaria, pero ocasionalmente (en casos muy raros), algo puede probarse a satisfacción de sus pares, tal vez por algunos años, hasta que se descubra algún defecto.
Al final, si la prueba te convence a ti mismo y luego convence a los expertos en el campo, entonces puedes sentirte seguro de que es correcto, ¡hasta que alguien demuestre que no lo es!
Oh, una pregunta fantástica, y una que estoy en condiciones de responder. ¿Por qué? Porque muchas veces pensé que probé cosas cuando en realidad no lo había hecho. Y pensé que no pude probar las cosas cuando realmente lo hice. Y también lo hice bien, en ocasiones. He triunfado y he fallado en todas las formas estúpidas, irresponsables, ignorantes, perezosas y vergonzosas que conocen las personas que intentan probar las cosas.
Entonces, esto es lo que sé, basado en años de no poder probar las cosas y no saber cuándo he fallado en probar las cosas.
Dos cosas: aprendes que no sabes, y aprendes que en el fondo, sí.
Cuando encuentras, compones o estás aturdido por una buena prueba, hay una sensación de inevitabilidad, de verdad innata. Entiendes que la cosa es verdad, entiendes por qué y ves que no puede ser de otra manera. Es como enamorarse. ¿Cómo sabes que te has enamorado? Solo lo haces
Dichas pruebas pueden ser incompletas o incluso totalmente erróneas. No importa. Tienen un núcleo verdadero, y lo sabes, lo ves , y desde allí solo es cuestión de llenar los vacíos, limpiar, eliminar redundancias, encontrar atajos, reorganizar argumentos, organizar lemas, generalizar, generalizar más, darse cuenta de que has sobregeneralizado y retrocediendo, escribiéndolo todo en un papel, mostrándolo y haciendo que alguien te muestre que tu prueba brillante simplemente está equivocada.
Y aquí es donde te das cuenta de que te has engañado por completo porque querías estar enamorado, lo que sucede más a menudo cuando eres joven e inexperto, o te das cuenta de que es simplemente técnicamente incorrecto y que el núcleo sigue ahí, pulsando con belleza. Lo arreglas y todo vuelve a estar bien con el mundo.
La experiencia, la disciplina, la intuición, la confianza y el paso del tiempo son las cosas que hacen que este último sea más probable que el primero. ¿Cuándo sabes con certeza ? Nunca se sabe a ciencia cierta. Tengo documentos que escribí en 1995 que todavía tengo miedo de mirar porque no sé qué encontraré allí, y hay una chica que pensé que amaba en séptimo grado y no sé si eso fue realmente amor o solo locura adolescente. Nunca sabes.
Afortunadamente, con pruebas matemáticas, puede hacer que la gente mire dentro de su alma y le diga si es real o no, algo que es más difícil de arreglar con los enamoramientos. Esa es la única forma, por supuesto. Los mejores matemáticos necesitan ese proceso para saber con seguridad. Alguien mencionó a Andrew Wiles; Este fue uno de los casos más famosos de fracaso público, pero está lejos de ser único. No creo que ningún matemático haya tenido un colega que haya demolido su maravillosa creación.
Romper pruebas en pasos (llamados lemas) puede ayudar inmensamente, porque la verdad de los lemas se puede verificar de forma independiente. Si eres disciplinado, trabajas duro para refutar tus lemas, para encontrar contraejemplos, para alentar a otros a encontrar contraejemplos, para criticar tus propios lemas como si pertenecieran a otra persona. Esta es la idea muy antigua y muy útil de la modularización: divida su código Scala, o su proyecto de ingeniería, o su prueba, o lo que tenga, en piezas significativas y luche con cada uno de forma independiente. De esta manera, incluso si su prueba está rota, tal vez sea solo un lema roto, y si el lema es realmente cierto y es solo su prueba lo que está mal, aún puede salvar todo volviendo a probar el lema.
O no. Quizás el lema sea más difícil que tu teorema. Tal vez no sea demostrable. Tal vez está mal y no lo estás viendo. Dura amante que es, matemáticas, y esta es una larga batalla. Puede llevar semanas, meses o años, y al final puede no parecer que haya creado una obra maestra; puede sentirse más como una casa de arena y niebla, con habitaciones y paredes que solo vagamente crees que se mantienen firmes. Entonces lo envías para publicación y aguardas las respuestas.
Los revisores pares a veces escriben: este paso está mal, pero no creo que sea un gran problema, puede solucionarlo. Puede que ellos mismos ni siquiera sepan cómo solucionarlo, pero tienen la experiencia y la intuición para saber que está bien, y solucionarlo es solo un trabajo. Le piden cortésmente que haga el trabajo, e incluso pueden aceptar el documento para su publicación en espera de la limpieza de dichos detalles.
Hay, a veces, errores en los artículos publicados. Sucede. Todos somos humanos. Las pruebas que son centrales se han vuelto a hacer tantas veces que son más infalibles que cualquier cosa de valor, y podemos estar tan seguros de ellas como de cualquier otra cosa. Las pruebas que son marginales y menores tienen más probabilidades de ser ocasionalmente incorrectas.
Entonces, ¿cuándo lo sabes con seguridad? Cuando los revisores revisan, y pasa el tiempo, y las personas rehacen su trabajo y lo desarrollan y lo expanden, y con el tiempo queda absolutamente claro que la verdad subyacente es incuestionable. Entonces sabes. No sucede de la noche a la mañana, pero finalmente lo sabes.
Y si eres bueno, solo reafirma lo que sabías, en el fondo, desde el principio.
Las pruebas matemáticas se pueden formalizar, utilizando varios marcos lógicos (lenguajes sintácticos, sistemas de axiomas, reglas de inferencia). En eso son diferentes de varios otros esfuerzos humanos.
Sin embargo, es importante darse cuenta de que los matemáticos que trabajan realmente casi nunca escriben versiones formales de sus pruebas. Abra cualquier documento en cualquier diario de matemáticas e invariablemente encontrará prosa , una historia contada en algún idioma humano (generalmente inglés, a veces francés o alemán). Ciertamente, hay muchos símbolos matemáticos y nomenclatura, pero los argumentos aún se comunican en inglés.
En las últimas décadas, se han hecho enormes progresos en formalizaciones prácticas de pruebas reales. Con sistemas como Coq, HOL, Flyspeck y otros, ha sido posible escribir una lista completamente formal de pasos para probar un teorema, y hacer que una computadora verifique esos pasos y emita un certificado formal de que la prueba es, de hecho, correcta.
La motivación para establecer esos sistemas es, al menos en parte, precisamente el deseo de eliminar los aspectos humanos y personales que describí y dejar en claro de manera inequívoca si una prueba es correcta o no.
Uno de los defensores clave de esos sistemas es Thomas Hales, quien desarrolló una prueba inmensamente compleja de la Conjetura de Kepler y fue impulsado por un fuerte deseo de saber si es correcto o no. Estoy bastante seguro de que él quería, ante todo, saber la respuesta a esa pregunta. Hales no podía decir, por sí mismo, si su propia prueba es correcta.
Es posible que en las próximas décadas el proceso se mecanice por completo, aunque no sucederá de la noche a la mañana. A partir de 2016, la gran mayoría de las pruebas aún se desarrollan, comunican y verifican de una manera muy social y humana, como lo fueron durante cientos de años, con toda la esperanza, fe, imprecisión, fracaso y alegría que conllevan los esfuerzos humanos.
Algunas veces uno usa un asistente de prueba para producir una prueba formal. Esto no se hace con mucha frecuencia, aunque a medida que los asistentes de prueba mejoran, creo que puede volverse más común. Uno de los principales beneficios de las verificaciones formales que se han hecho hasta ahora es que proporcionan una verificación cruzada de los sentimientos de confianza que se han descrito en otras respuestas. Uno podría imaginar que los matemáticos podrían desarrollar un punto ciego colectivo, en el que regularmente nos sentimos seguros de que la conclusión de un argumento se sigue lógicamente de ciertas premisas, y que sería simplemente una cuestión de completar todos los detalles, pero en general estaban equivocados . Se sabe que las personas usan accidentalmente el axioma de elección sin darse cuenta, aunque aquellos de nosotros que nos importa si se está utilizando o no, sentimos que podemos decirlo. Pero uno puede imaginar que tal vez hay algo más que todos hemos seguido usando sin darnos cuenta. Afortunadamente, ahora tenemos un conjunto de pruebas cuyos detalles han sido verificados de manera muy exigente, por lo que sabemos que no teníamos tanta confusión sobre ellos. Somos falibles, pero la verificación formal nos da un límite superior de cuán falibles somos.
Las matemáticas son un juego que se juega de acuerdo con ciertas reglas simples con marcas sin sentido en el papel y las matemáticas son la música de la razón. Las matemáticas nos llevan a la región de la necesidad absoluta, a la cual no solo la palabra real, sino todas las palabras posibles, deben ajustarse.
La mejor manera de demostrar una teoría es demostrar que está equivocada y hacer todo lo posible para encontrar formas, agujeros, para demostrar que está equivocada. Es como si tu nuevo trabajo fuera probar que tu teoría está completamente equivocada. Si tuvo éxito, entonces su teoría no es 100% correcta, verifique nuevamente y descubra las cosas que necesita cambiar y cámbielo. Sin embargo, si no pudiste probar que está mal … entonces tienes una teoría correcta
Además … si yo personalmente tuviera una teoría, especialmente en matemáticas, lo primero que haría es verificar desde Internet si alguien más lo ha hecho antes. A veces eso sucede … así que asegúrese de que su idea se considere original
Buena suerte
Probar algo solo significa que has convencido a algunos matemáticos confiables y respetados y, como matemático, no creo que podamos ir más allá.
Las computadoras pueden verificar las pruebas, pero no hay razón para creer que sean menos falibles que los humanos.
Tenga en cuenta que el teorema de los cuatro colores se probó durante un período prolongado de tiempo antes de que se descubriera un defecto algunas décadas después.
Tampoco la eminencia de quienes están de acuerdo con su ‘prueba’ garantiza su resultado.
¡Fermat parece haber estado de acuerdo con su prueba de su último teorema, pero puede ser el único que queda!
Una forma es realizando una prueba por inducción matemática.
En primer lugar, verá si la afirmación es verdadera para n = 1
Si es así, entonces asume que es cierto para n = k donde k es una variable.
Entonces se determina si es cierto para n = k + 1
Si es así, ha demostrado con éxito que la declaración es verdadera para todos los valores enteros de n.
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