Cuando la pregunta dice “derivado”, lo tomo como “descubierto por ti mismo en algún trabajo original”. En cualquier caso, la pregunta es claramente una invitación para que las personas alardeen un poco. Así que, aquí vamos.
Descargo de responsabilidad: no soy un matemático profesional.
Escribí un artículo sobre teoría de categorías que contiene el siguiente diagrama:
Esta es una instancia de una cosa generalmente conocida dentro de la teoría de las bicategorías, llamada el Pentágono MacLane. Observe que hay dos “caminos” de flechas dobles desde la cosita en la esquina superior izquierda a la cosita en la parte inferior. Estos dos caminos dan lugar a los lados izquierdo y derecho de una ecuación, porque, como lo pruebo en el documento, este pentágono “conmuta”. Básicamente, las flechas aquí representan algún tipo de mapas que actúan sobre objetos. Si comienza en la esquina superior izquierda y elige un objeto, puede golpearlo con las dos flechas que van hacia abajo y hacia la derecha, o con las tres flechas que van hacia la derecha, hacia abajo y hacia la izquierda. El resultado será el mismo, que se puede expresar como una ecuación. Uno largo.
Aquí hay una versión ampliada del diagrama anterior, que probablemente será completamente inútil para todos, pero que parece aún más complicado (por lo tanto, impresionante):
Aquí los dos “caminos” del Pentágono anterior se han convertido en las dos “cadenas de cosas” en el interior de este diagrama ovalado extraño. (Las dos partes externas con [math] A [/ math] y [math] E [/ math] son esencialmente anclas en el fondo y no son parte del meollo del argumento.) Cada flecha (doble) desde El Pentágono anterior se ha convertido en un par de flechas individuales que emanan de algo con una [matemática] L [/ matemática]. Lees esto de arriba a abajo. Como puede ver, la cadena de cosas izquierda involucra dos cosas con [matemáticas] L [/ matemáticas], y la cadena de cosas derecha involucra tres cosas con [matemáticas] L [/ matemáticas], correspondientes a las dos caminos del pentágono anterior. Interpretada correctamente, estas dos cadenas de cosas son iguales.
¿De qué se trata, preguntas? En última instancia, todo muestra que dos formas diferentes de reordenar una expresión que incluye paréntesis anidados a la derecha en una con paréntesis anidados a la izquierda son iguales. No las expresiones entre paréntesis en sí, sino los procesos de reordenamiento. Y todo sucede en el contexto de una “bicategoría de tramos”.
En el documento, en realidad no necesitaba escribir la ecuación única a la que se reduce todo ese desperdicio: sería demasiado largo, feo y poco esclarecedor. Probé que la ecuación relevante tiene que sostenerse (en otras palabras, el pentágono conmuta) usando argumentos categóricos en el diagrama mismo, no cualquier tipo de manipulación simbólica del lado izquierdo y del lado derecho. La gente ha probado muchas instancias del Pentágono MacLane en el pasado, para establecer que varias estructuras realmente son bicategorías, pero estoy bastante seguro de que esta instancia en particular fue original.
Todavía me estoy recuperando psicológicamente.