¿Por qué los matemáticos se sienten tan atraídos por los invariantes?

Answer 1

En matemáticas, una invariante es una propiedad que permanece sin cambios cuando se aplican transformaciones de cierto tipo. El amplio tema involucrado aquí podría considerarse como ‘aquello que permanece sin cambios dentro del cambio’. Los matemáticos aplican el concepto a ciertos objetos matemáticos específicos que pertenecen a alguna clase en particular.

Otros campos de estudio aplican el término de manera similar y se preocupan de manera similar por la noción de algún atributo o calidad en la que se pueda confiar para que permanezca sin cambios en un contexto dado.

En ciencias de la computación, una invariante es una condición en la que se puede confiar para que sea cierta durante la ejecución de un programa, o durante alguna parte del mismo. Es una afirmación lógica que se considera siempre cierta durante una cierta fase de ejecución. Entonces, notamos aquí las importantes relaciones entre ‘inmutable’, ‘estabilidad’ y ‘confiabilidad’. Ayuda a no tener que estar constantemente preocupado por “sacar la alfombra de debajo de los pies”. Especialmente cuando se monta en “alfombras mágicas” como las matemáticas o la física.

Tanto las matemáticas como la física tienen que ver con objetos invariables a una transformación en el espacio, uno de los cuales es la reflexión. La invarianza aquí está asociada con la simetría, que en física es significativa para indicar algún tipo de conservación que probablemente sea de gran importancia. El mismo término “invariancia” apunta a algo que se conserva. Los físicos toman nota particular de la invariancia que muestran las simetrías, ya que pueden conducir al descubrimiento de nuevas leyes físicas de conservación. La atención a la simetría jugó un papel importante en el desarrollo de la física moderna a principios del siglo XX.

Ver Emmy Noether

Answer 2

Algo que uno debe tener en cuenta sobre los matemáticos es que somos criaturas muy vagas. Viene con una connotación negativa, pero esto es lo que nos obliga a idear nuevas herramientas, conceptos y construcciones nuevas. Si miro esto de esta manera, ¡puedo reducir la longitud de este cálculo a una sola línea! Si dejo de importarme que esta cosa y esta otra cosa sean diferentes, ya que son bastante similares, ¡tal vez esta declaración se generalice a todos los objetos!

De hecho, la última oración refleja el sentimiento y la utilidad de los invariantes: nos permiten olvidar ciertas diferencias entre las estructuras matemáticas para que las diferencias preservadas sean quizás más fáciles de describir y manipular. Esto significa dos cosas:

1. Los objetos que no tenían diferencias para empezar seguirán siendo los mismos. Esto le da a tales simplificaciones el nombre de “invariantes”.
2. A veces, los objetos que comenzaron de manera diferente ya no serán distinguibles.

El primer punto es útil porque significa que si podemos mostrar que dos objetos se reducen a objetos diferentes, entonces sabemos que, para empezar, no eran lo mismo.

El segundo punto actúa como una advertencia: solo porque el mismo invariante se asigna a dos cosas puede no implicar que sean lo mismo. La búsqueda de casos en los que se mantiene esta conversación da una amplia oferta de preguntas decentes que se pueden formular. Un ejemplo muy conocido es un pequeño teorema una vez llamado la Conjetura de Poincaré. Si dos variedades tridimensionales tienen el tipo de homotopía (una invariante muy útil) de una esfera, ¿son necesariamente homeomorfas? Dado que la propia 3-esfera tiene ese tipo de homotopía, este teorema nos dice que las 3 esferas de homotopía son 3 esferas reales . ¡Es realmente genial y útil!

En resumen, los invariantes nos permiten aumentar el nivel de equivalencia entre los objetos. Ambos son una herramienta para mostrar que dos cosas son diferentes, ¡y también una fuente de preguntas de investigación fructíferas!

Answer 3

Los matemáticos no son los únicos que se sienten “atraídos” por los invariantes. Tendré mucho más que decir sobre esto más adelante, pero aquí hay algunos ejemplos fuera de las matemáticas:

1. Los cosmólogos se preocupan por varias “constantes cosmológicas”, que por definición son invariantes.
2. Las personas que obtienen préstamos de los bancos para sus hogares parecen preferir que sus pagos mensuales sean los mismos. Eso es invariable, y para lograr tal acuerdo con un banco o compañía hipotecaria, el prestatario debe aceptar que su préstamo se amortiza durante la vida del préstamo, lo que lleva a una situación en la que los pagos iniciales se destinarán principalmente a pagar los intereses de su préstamo en lugar de disminuir su deuda principal.
3. Los ciudadanos de una sociedad prefieren ser tratados “justamente”, en lugar de menos respeto que otros, especialmente en la aplicación de las leyes, y esto lleva a la terminología como “equidad”, “razonabilidad” y “equidad” en muchos entornos legales, civiles o sociológicos. En particular, a las personas no les gusta que se les impida votar o que su voto de alguna manera “cuente menos” que el de otras personas. Un ciudadano determinado puede estar de acuerdo con que su voto cuente más que el de otra persona, pero si se enfrenta a la posibilidad de que su voto cuente menos o parezca contar menos, es muy probable que discutan a favor de la equidad y el equilibrio.
4. Muchos (quizás la mayoría) de los consejeros matrimoniales prefieren que los zapatos matrimoniales que aconsejan permanezcan estables. Esta es una versión de una invariante.

Answer 4

En términos generales, porque clasificar un objeto en términos de invariante algebraico ha demostrado ser una técnica muy fructífera en matemáticas. Especialmente cuando el tipo de objeto que estás tratando de entender es complicado, reducir a clasificar algunos invariantes algebraicos suele ser mucho más fácil.