¿Por qué a menudo es posible hablar sobre conceptos matemáticos de manera aproximada e intuitiva sin hacer pruebas rigurosas?

Answer 1

El problema más común con los estudiantes principiantes de matemáticas es no entender el “rigor”. El problema más común con los estudiantes en el siguiente nivel es confundir el rigor con las matemáticas .

Por ejemplo, muchos de mis estudiantes de análisis piensan que comprender el concepto de límite es lo mismo que memorizar la definición delta-épsilon. Cuando les di un problema, inmediatamente trataron de encontrar un delta apropiado para un épsilon determinado, y se atascaron si el problema no era sencillo. También se dejaron intimidar por pruebas complicadas en los libros de texto: ¿cómo se les ocurrió a las personas tales pruebas?

Entonces, ¿cómo se le ocurrió a la gente esas pruebas? Mis alumnos no se dan cuenta de que la forma en que se escriben las matemáticas no refleja la forma en que se hicieron.

Déjame darte un ejemplo para ilustrar esto. Supongamos que un hablante de inglés no nativo le pregunta: “¿cuál es la diferencia entre” will “,” be going to + V “y” will done done? “Lo más probable es que, para explicarle a esta persona, recuerde los ejemplos en que utilizó estas frases e intentó capturar su esencia en las reglas. Las reglas podrían verse así. Estas reglas no son lo mismo que tu comprensión de los tiempos verbales: cuando usaste los tiempos verbales, no pasaste por estas reglas en tu cabeza. Fue una respuesta bastante automática e intuitiva. Un aprendiz de un idioma extranjero no alcanzaría fluidez si equipara la comprensión de los tiempos verbales con la memorización de estas reglas y trata de recordarlas cada vez que habla (¡qué lento sería eso!)

Del mismo modo, los conceptos y definiciones matemáticos son para capturar ciertos sentimientos e intuiciones. El contenido de las matemáticas son esas intuiciones, no las formulaciones rigurosas. Comprender el concepto de límite es ser capaz de internalizar ciertos “sentimientos”. En general, cuando un matemático “prueba” algo, lo que realmente está sucediendo es que encuentra una intuición de por qué algo tiene que ser verdad, la forma en que captas la esencia de los tiempos verbales. Luego, trata de traducir esa intuición en un lenguaje riguroso. Después de ese proceso de traducción, debido a la limitación de las terminologías matemáticas de la época, a veces la intuición simple se convierte en formulaciones engorrosas y tediosas. El estudiante inocente que intenta usarlos a nivel superficial sería tan lento como el hablante no nativo de inglés que trata de recordar todas las reglas de gramática antes de hablar cualquier oración en inglés.

Para responder a sus preguntas, es posible hablar de matemáticas sin rigor porque el contenido de las matemáticas se encuentra fuera del rigor. Podemos hablar de gatos, sillas, amor y justicia sin tener definiciones rigurosas de estos conceptos. Los conceptos matemáticos no son diferentes.

Answer 2

Los conceptos matemáticos son solo eso: conceptos. Los conceptos son naturales para nosotros, ya que representan nuestro mundo, visto y no visto. Los conceptos matemáticos apelan a nuestra capacidad de imaginar y visualizar algo. Esto es importante porque antes de escribir fórmulas, ecuaciones, derivaciones y pruebas, primero debemos tener una imagen de lo que es y hace la matemática.

Nadie piensa en sin (x) como una función especial con una variable. Cuando escribimos sin (x) ‘vemos’ una onda sinusoidal. Nos ‘imaginamos’ una serie infinita que converge a los valores de la función. Inmediatamente hacemos una asociación con [math] \ pi [/ math].

Estas asociaciones, imaginaciones y visualizaciones son el vocabulario real de las matemáticas, es decir, no los símbolos que las representan. Siempre que tratemos de entender un problema matemático, primero intentaremos usar ese vocabulario. Si podemos usar ese vocabulario visual, a menudo podemos resolver aproximadamente el problema. A veces, con mucho éxito y la única razón por la que aún podríamos escribirlo formalmente porque las pruebas rígidas son un requisito básico.

Por ejemplo, el límite de la función sen (x) cuando x va al infinito no converge. No importa cuánto aumente x, su imagen sin (x) continuará variando entre 1 y -1. Puede entender esto y es perfectamente cierto a pesar de que esta es una discusión “aproximada”. El hecho de que también podamos escribir una prueba rígida no mejora nuestra comprensión de este hecho. Simplemente mejora nuestra capacidad de escribir pruebas formales.

Answer 3

Porque de lo contrario, otras personas verán cuán incompetente es esa persona (hablando solo de manera aproximada e intuitiva).

Daré un pequeño ejemplo. Estaba en la universidad Un primer año. Una conferencia sobre metafísica. Y un maestro dice más o menos (lo dijo en ruso, así que aquí está la traducción) lo siguiente: “la lógica no puede darle aritmética”. Me pregunté: “¿cuándo fue la última vez que ese hombre usó una calculadora?”.

Sin embargo, la verdad es que la lógica de primer orden es esencial cuando se quiere formalizar la aritmética (aunque no es suficiente: se necesitan axiomas adicionales). Pero no se puede obtener sin lógica cuando se hace aritmética rigurosamente.

Uno de los peores ejemplos de tal actitud es Alain Badiou. Puedes leer sobre sus trabajos en wiki.

Answer 4

Por las mismas razones que muchas personas hablan sobre pintura y arte sin poder pintar o dibujar por sí mismas.

Si piensas en las matemáticas, como todos hacemos seno Hilbert, en las matemáticas como un árbol de pruebas y razonamiento, puedes hablar sobre la forma general, el crecimiento de las hojas y cuándo vendrán los frutos sin conocer el detalle de todas las ramas. .

Y me gustaría agregar que lo que llama prueba rigurosa es mucho más relativo de lo que puede pensar a primera vista. Muchos de los resultados de lo que se llama cálculo, como la aplicación de Newton de diferenciales ([matemáticas] f = m \ gamma [/ matemáticas]), series exponenciales y trigonométricas de Euler, cálculo de variación de Lagrange, series de Fourier y transformación se desarrollaron un buen siglo antes de que Cauchy diera la definición de un límite.

Answer 5

Creo que es porque estamos conectados de manera innata para las matemáticas de una manera que es algo similar a nuestro potencial innato para el lenguaje. Hacemos enormes cantidades de cálculo todo el tiempo, pero no podemos hacerlo conscientemente.

Tenemos fácil acceso a nuestras capacidades lingüísticas porque tener un diálogo interno nos ayuda enormemente. Tenemos una versión extremadamente rudimentaria de eso en términos de matemáticas, lo que las capacidades cuantitativas hacen mucho más bien si funcionan subconscientemente. Usamos esas capacidades para correr y atrapar cosas y demás. Estas son cosas que tuvimos que hacer de inmediato y sin deliberación durante la mayor parte de la historia humana.

Algunas personas tienen acceso inmediato a esas capacidades cuantitativas. La persona que viene a mi mente primero cuando pienso en esto fue golpeada en la cabeza con una pelota de béisbol. Después de eso, él podría decirte en qué día de la semana cayó tu cumpleaños en un año determinado.

Esa es mi teoria. La matemática es innata pero subconsciente, por lo tanto intuitiva a veces.

Answer 6

1. Porque así es como decidimos enseñar matemáticas.

   A veces, simplemente les pedimos a los estudiantes que crean en cierta fórmula, para que puedan usarla para resolver problemas interesantes y aprender cosas básicas (pero mucho más importantes) como el pensamiento lógico y la resolución de problemas. Si no fuera el caso, muy pocos estudiantes (incluso los de la escuela secundaria) podrían hablar sobre el área del disco. ¿Te imaginas pedirles a los estudiantes que esperen las clases de cálculo antes de que aprendan sobre el área del disco?

2. Porque a veces es solo una pérdida de tiempo. Conozco muchas fórmulas, pero realmente no recuerdo una prueba, ya que es terriblemente larga. Si me dieran un bolígrafo y un trozo de papel, podría probarlos fácilmente, pero puede llevar hasta 30 minutos. Si tanto yo como la persona con la que estoy hablando pueden probarlo, ¿por qué molestarse con las formalidades y no solo hablar de algo nuevo con respecto al asunto?

Answer 7

Muchos atletas pueden hacer cosas increíbles físicamente y pueden explicar la metodología de entrenamiento sin comprender una sola cosa sobre la fisiología de lo que hacen.

Charles Darwin tuvo logros similares en física. No tenía todo el talento matemático del mundo, pero sí veía cosas que otros no podían. Gran parte de su trabajo no fue probado hasta más tarde.