Cómo demostrar que [math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (\ frac {sin (\ omega / 2)} {\ omega / 2}) d \ omega = 2 \ pi [/ math]

Answer 1

* A2A *

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ sin \ frac {\ omega} {2}} {\ frac {\ omega} {2}} d \ omega = 2 \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ sin x} {x} dx = 4 \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin x} {x} dx [/ math]

Ahora, tomando la transformación de Laplace de [math] \ frac {\ sin x} {x} [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} \ left (\ frac {\ sin x} {x} \ right) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- sx} \ frac {\ sin x} {x} dx = \ int_ {s} ^ {\ infty} \ frac {1} {t ^ 2 + 1} dt = \ frac {\ pi} {2} – \ arctan s [/ math]

Sustituyendo [math] s = 0 [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin x} {x} dx = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ sin \ frac {\ omega} {2}} {\ frac {\ omega} {2}} d \ omega = 4 \ frac {\ pi} {2} = 2 \ pi [/ math]

Answer 2

Dado que la integral dada está en el dominio de la frecuencia, por lo tanto, con la ayuda del teorema de potencia de parsevals, se puede convertir en domino de tiempo.
Entonces la transformada inversa de Fourier de sa (w / 2) es rect (t).

Entonces la integral se convierte en 2π * integral de rect (t).

Lo cual es igual a 2π.

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Y disculpe las molestias por entender esta respuesta porque soy nuevo en quora, así que no puedo escribir la respuesta en la expresión matemática adecuada.

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Answer 3