- Los campos de función son campos como [math] \ mathbb {R} (X) [/ math], [math] \ mathbb {C} (X) [/ math], [math] \ mathbb {Q} (X) [/ matemática] y generalmente [matemática] F (X) [/ matemática] para cualquier campo [matemática] F [/ matemática]. Esos son campos compuestos de funciones racionales en la variable [matemática] X [/ matemática] y coeficientes del campo base [matemática] F [/ matemática]. En la misma línea, hay campos de función con más de una variable, por ejemplo, [matemática] F (X, Y) = F (X) (Y) [/ matemática].
- Los campos numéricos son extensiones finitas de [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Los ejemplos más simples son las extensiones cuadráticas como [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) [/ math] o [math] \ mathbb {Q} (i) [/ math], cuyos elementos son todos los números de la forma [math] a + b \ sqrt {2} [/ math] o [math] a + bi [/ math] con [math] a, b [/ math] números racionales. Otros campos numéricos importantes y conocidos son los campos ciclotómicos [math] \ mathbb {Q} (e ^ {2 \ pi i / n}) [/ math], extensiones cúbicas como [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt [3] {2}) [/ math], y obviamente hay muchos otros.
- Los campos finitos son campos con muchos elementos finitos. Todos tienen elementos [math] p ^ k [/ math] para algunos primos [math] p [/ math] y algunos enteros positivos [math] k [/ math], y hay un campo para cada elección de [ matemáticas] p, k [/ matemáticas]. A menudo se denotan [math] \ mathbb {F} _q [/ math] con [math] q = p ^ k [/ math] o, a veces, [math] \ mbox {GF} (p ^ k) [/ math] (“Campo de Galois”). Los que tienen [math] k = 1 [/ math] son muy fáciles de describir: son simplemente los números [math] \ {0,1, \ ldots, p-1 \} [/ math] con módulo de suma y multiplicación [matemáticas] p [/ matemáticas]. Los campos con elementos de potencia de primo se obtienen al unir una raíz de un polinomio apropiado; por ejemplo, el campo de cuatro elementos [math] \ mathbb {F} _4 [/ math] puede verse como que tiene [math] \ {0,1, X, X + 1 \} [/ math] como elementos, con la suma y la multiplicación definidas como operaciones polinómicas modulan el polinomio [matemático] X ^ 2 + X + 1 [/ matemático] sobre el campo de dos elementos.
Yo diría que estos son los que la mayoría de los matemáticos “deberían” estar familiarizados y, en general, en realidad lo están. Hay muchos otros campos maravillosos que es bueno conocer.
- El campo de [math] p [/ math] -números adic, [math] \ mathbb {Q} _p [/ math], que es la finalización de [math] \ mathbb {Q} [/ math] con respecto a un norma no archimedean. También podemos considerar el cierre algebraico [math] \ bar {\ mathbb {Q} _p} [/ math] de ese campo. Curiosamente, ese cierre algebraico ya no es un campo completo, por lo que podemos completarlo una vez más para obtener un campo que a veces se denota [math] \ Omega [/ math] o [math] \ Omega_p [/ math]. Afortunadamente, este campo está cerrado y completo algebraicamente, pero no es sencillo trabajar con esta bestia.
- Al juntar dos de las construcciones mencionadas anteriormente, el campo [math] \ mathbb {F} _p (X) [/ math] de funciones racionales sobre un campo finito es el ejemplo más simple de un campo no perfecto.
- El cierre algebraico [math] \ mbox {GF} (p ^ \ infty) [/ math] de [math] \ mbox {GF} (p) [/ math].
- Extensiones infinitas de [math] \ mathbb {Q} [/ math] como las extensiones ciclotómicas infinitas [math] \ mathbb {Q} (p ^ \ infty) [/ math] obtenidas al unir sucesivamente [math] p ^ k [ / matemáticas] raíces de la unidad (ver teoría de Iwasawa).
- Campo de números surrealistas de Conway, No. La capitalización de “Campo” no es un error tipográfico: los elementos de este campo forman una Clase adecuada, no un conjunto.