¿Cuál será el valor mínimo posible de xy + (1 / xy) dado x + y = 1?

Answer 1

Reemplace todo por una sola variable.
[matemáticas] x \ cdot (1-x) + \ frac {1} {x \ cdot (1-x)} [/ matemáticas]
Deje que la función [math] f [/ math] sea ​​tal que [math] f (x) = x \ cdot (1-x) + \ frac {1} {x \ cdot (1-x)} [/ math]
Ahora use la diferenciación para encontrar los extremos locales y absolutos.
Es posible que pueda encontrar el mínimo absoluto.

Nota: Si no tiene conocimiento de la diferenciación o de este método, entonces se debe adoptar algún otro enfoque. Incapaz de pensar en uno en este momento.

Actualización 1: ejecutando la curva en Graph.exe, esto se obtiene

Para la curva entre [matemática] 0 \ le x \ le 1 [/ matemática], el valor mínimo es [matemática] 4.25 [/ matemática] en [matemática] x = 0.5 [/ matemática]. En otros lugares donde alcanza el infinito negativo.

Answer 2

Optimizar xy + (x ^ -1) (y ^ -1) Eq1. sujeto a la restricción x + y = 1 Eq2

Forme la función de Lagrange

Q = xy + (x ^ -1) (y ^ -1) + L (1-xy). Eq3

Luego obtenga derivados; d Q / dx, d Q / dy, d Q, / dL all = 0

Q (x) = y – 1 / (yx ^ 2) -L = 0. Eq4
Q (y) = x – 1 / (x .y ^ 2) -L = 0 y. Eq5
Q (L) = 1-xy = 0. Eq6

Q (y) / Q (x) = L / L = 1

Q (y) / Q (x) = [y ^ 2 (1 – x ^ 2)] / [x ^ 2 (1- y ^ 2)] = 1. Eq7

Ahora desde Eq2 dejemos que x = 1-y sustituya en Eq7 y haga mucha manipulación para obtener

(-y ^ 4 + 2y ^ 3 + 2y ^ 2 + 2y-1) / (- y ^ 4 + 2y ^ 3 + 2y ^ 2) = 1 multiplicación cruzada

-y ^ 4 + 2y ^ 3 + 2y ^ 2 + 2y -1 = -y ^ 4 + 2y ^ 3 + 2y ^ 2. Cancelar los términos para obtener

2y-1 = 0
y = 1/2.
x + y = 1. entonces x = 1/2

Sustituir en Eq1

xy + 1 / (xy) = .5 × .5 + 2 × 2 = 4.25

Answer 3

vale, solo un intento

digamos xy + 1 / xy = f (y)
primero multiplique x + y = 1 por y, alrit?
entonces obtienes xy + y ^ 2 = y.
significa xy = yy ^ 2. pon esto en xy + 1 / xy = f (y)
u obtiene aa ^ 2 + 1 / aa ^ 2 = f (y).
ahora diferenciar esta ecuación wrt ‘y’
u obtiene 1-2y – (1-2y) / (aa ^ 2) = f ‘(y)
ahora basado en el concepto de máximos y mínimos, equiparamos esta ecuación a cero y encontramos el valor mínimo de y.
que encontré que es -6/10 es decir -0.6
usando x + y = 1 ecuación encuentre x. que encontré que era 1.61
ahora inserte estos valores de x e y en la primera ecuación y esa es su respuesta.
obtuve -1.99 eso es aproximadamente -2.
Dudo seriamente esto, sin embargo corrígeme si encuentras una falla.

Answer 4

Si reemplaza [math] \ displaystyle y [/ math] con [math] \ displaystyle (1-x) [/ math] en [math] \ displaystyle xy + \ frac {1} {xy} [/ math] obtendrá [ matemática] \ displaystyle x (1-x) + \ frac {1} {x (1-x)}. [/ math]

Para valores grandes de [math] \ displaystyle x [/ math] el término de la derecha desaparece y queda con [math] \ displaystyle x (1-x) [/ math] que tiende hacia [math] \ displaystyle -infinity [ /matemáticas]. (Esto es cierto para valores positivos grandes de [math] \ displaystyle x [/ math] y valores negativos grandes de [math] \ displaystyle x [/ math]).

Tenga en cuenta que para [math] \ displaystyle 0 local, pero esa no es la pregunta que se hizo.