Puede conceptualizar espacios vectoriales específicos de diferentes maneras, dependiendo de cuál sea el espacio vectorial. Puede visualizar [math] \ mathbb {R} ^ 1 [/ math] como una línea, [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] como un plano y [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] como espacio 3D. Puede visualizar elementos individuales de un espacio vectorial como [matemática] C ([0,1]) [/ matemática] (el espacio vectorial de funciones continuas desde [matemática] [0,1] [/ matemática] a [matemática] \ mathbb {R} [/ math]) en términos de sus gráficos, aunque no sé cómo visualizar de manera significativa todo el espacio vectorial.
En términos de cómo pensar en un espacio vectorial general , personalmente tiendo a usar [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] como modelo mental. ¿Cómo tiene sentido esto, dado que hay tantos tipos diferentes de espacios vectoriales? Sugeriré una analogía.
Aunque existe una amplia variedad de vehículos de motor, los conductores pueden estar seguros de que podrán operar cualquier vehículo que puedan recibir en el mostrador de un auto alquilado. ¿Cómo es que puede conducir de manera segura un automóvil que nunca antes ha conducido, sin práctica? ¿Y sin saber nada de lo que sucede debajo del capó? Debido a que los fabricantes de automóviles han hecho que la interfaz con el conductor sea consistente en toda la industria: se le da un volante, un freno y un pedal del acelerador, así como la garantía de que cada uno de esos controles hace lo que usted cree que hace. Esos pocos puntos de contacto son suficientes para que usted haga todo lo que necesita hacer como conductor.
Un espacio vectorial abstracto es como un vehículo abstracto: no puede visualizarlo directamente ya que representa una amplia clase de objetos, pero viene con operaciones específicas que son comunes en toda la clase y que garantizan la satisfacción de ciertas propiedades (como condición de membresía). En el caso de espacios vectoriales, la suma de vectores y la multiplicación escalar son sus controles, y las propiedades tienen que ver con la asociatividad de la adición de vectores, la existencia de una identidad aditiva, etc.
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Entonces, si desea visualizar un vehículo abstracto como un Prius, está bien. La única advertencia es que algunos detalles son específicos de su Prius, y debe tenerlo en cuenta si desea asegurarse de que el conocimiento de su vehículo sea portátil. Para los automóviles, esto puede ser complicado ya que la línea entre una característica común y una idiosincrasia puede ser bastante borrosa. Pero las matemáticas son más precisas: los requisitos exactos de un espacio vectorial, llamados axiomas , se enumeran cuidadosamente en cualquier introducción a los espacios vectoriales.
Esto permite una división de trabajo de fabricante / operador muy productiva: por un lado, puede cocinar muchos espacios vectoriales diferentes y, por otro lado, puede desarrollar un conjunto de conocimientos que se aplica a cualquier cosa que sea un espacio vectorial, independientemente de cómo se ven específicamente sus elementos y operaciones. La recompensa es que obtienes acceso a una tonelada de información sobre un objeto tan pronto como sabes que es un espacio vectorial.
TL; DR Un espacio vectorial es realmente solo una abstracción de la estructura lineal (suma de vectores y multiplicación escalar) de espacios familiares como [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] o [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemáticas].