¿Cómo entienden los matemáticos los espacios vectoriales?

Puede conceptualizar espacios vectoriales específicos de diferentes maneras, dependiendo de cuál sea el espacio vectorial. Puede visualizar [math] \ mathbb {R} ^ 1 [/ math] como una línea, [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] como un plano y [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] como espacio 3D. Puede visualizar elementos individuales de un espacio vectorial como [matemática] C ([0,1]) [/ matemática] (el espacio vectorial de funciones continuas desde [matemática] [0,1] [/ matemática] a [matemática] \ mathbb {R} [/ math]) en términos de sus gráficos, aunque no sé cómo visualizar de manera significativa todo el espacio vectorial.

En términos de cómo pensar en un espacio vectorial general , personalmente tiendo a usar [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] como modelo mental. ¿Cómo tiene sentido esto, dado que hay tantos tipos diferentes de espacios vectoriales? Sugeriré una analogía.

Aunque existe una amplia variedad de vehículos de motor, los conductores pueden estar seguros de que podrán operar cualquier vehículo que puedan recibir en el mostrador de un auto alquilado. ¿Cómo es que puede conducir de manera segura un automóvil que nunca antes ha conducido, sin práctica? ¿Y sin saber nada de lo que sucede debajo del capó? Debido a que los fabricantes de automóviles han hecho que la interfaz con el conductor sea consistente en toda la industria: se le da un volante, un freno y un pedal del acelerador, así como la garantía de que cada uno de esos controles hace lo que usted cree que hace. Esos pocos puntos de contacto son suficientes para que usted haga todo lo que necesita hacer como conductor.

Un espacio vectorial abstracto es como un vehículo abstracto: no puede visualizarlo directamente ya que representa una amplia clase de objetos, pero viene con operaciones específicas que son comunes en toda la clase y que garantizan la satisfacción de ciertas propiedades (como condición de membresía). En el caso de espacios vectoriales, la suma de vectores y la multiplicación escalar son sus controles, y las propiedades tienen que ver con la asociatividad de la adición de vectores, la existencia de una identidad aditiva, etc.

Entonces, si desea visualizar un vehículo abstracto como un Prius, está bien. La única advertencia es que algunos detalles son específicos de su Prius, y debe tenerlo en cuenta si desea asegurarse de que el conocimiento de su vehículo sea portátil. Para los automóviles, esto puede ser complicado ya que la línea entre una característica común y una idiosincrasia puede ser bastante borrosa. Pero las matemáticas son más precisas: los requisitos exactos de un espacio vectorial, llamados axiomas , se enumeran cuidadosamente en cualquier introducción a los espacios vectoriales.

Esto permite una división de trabajo de fabricante / operador muy productiva: por un lado, puede cocinar muchos espacios vectoriales diferentes y, por otro lado, puede desarrollar un conjunto de conocimientos que se aplica a cualquier cosa que sea un espacio vectorial, independientemente de cómo se ven específicamente sus elementos y operaciones. La recompensa es que obtienes acceso a una tonelada de información sobre un objeto tan pronto como sabes que es un espacio vectorial.

TL; DR Un espacio vectorial es realmente solo una abstracción de la estructura lineal (suma de vectores y multiplicación escalar) de espacios familiares como [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] o [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemáticas].

Descargo de responsabilidad : lo que sigue no es lo que considero una buena primera definición de un espacio vectorial. Voy a profundizar directamente en el álgebra abstracta, que es algo que ningún maestro sensato de una clase introductoria de álgebra lineal haría jamás. Sin embargo, probablemente será la respuesta más honesta de cómo los matemáticos piensan específicamente sobre los espacios vectoriales.


La respuesta es bastante simple: un espacio vectorial es un módulo [math] \ mathbb {F} [/ math], donde [math] \ mathbb {F} [/ math] es un campo.

Recuerde que un módulo [matemática] M [/ matemática] de un anillo [matemática] R [/ matemática] es un grupo abeliano con una multiplicación adicional, específicamente, podemos multiplicar los elementos de [matemática] M [/ matemática] por elementos del anillo [matemática] R [/ matemática], sujeto a las condiciones que

  1. [matemática] 1 \ cdot m = m [/ matemática] para todos [matemática] m \ en M [/ matemática],
  2. [math] r \ cdot (m_1 + m_2) = r \ cdot m_1 + r \ cdot m_2 [/ math] para todos [math] r \ in R [/ math] y [math] m_1, m_2 \ in M ​​[/ matemáticas] y
  3. [math] (r_1 + r_2) \ cdot m = r_1 \ cdot m + r_2 \ cdot m [/ math] para todos [math] r_1, r_2 \ in R [/ math] y [math] m \ in M ​​[/ matemáticas].
  4. [math] r_1 \ cdot (r_2 \ cdot m) = (r_1 \ cdot r_2) \ cdot m [/ math] para todos [math] r_1, r_2 \ in R [/ math] y [math] m \ in M ​​[ /matemáticas].

Hay varios casos especiales interesantes de módulos:

  1. Cualquier grupo abeliano [math] G [/ math] es automáticamente un [math] \ mathbb {Z} [/ math] -module (aquí [math] \ mathbb {Z} [/ math] denota los enteros). Esto se debe a que siempre puede definir [matemática] 2 \ cdot m = m + m [/ matemática], [matemática] 3 \ cdot m = m + m + m [/ matemática], y así sucesivamente.
  2. Si [matemática] R [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática] son ​​anillos y [matemática] f: R \ rightarrow S [/ matemática] es un homomorfismo en anillo, entonces [matemática] S [/ matemática] es un [math] R [/ math] -module si definimos [math] r \ cdot s = f (r) s [/ math].
  3. Si [math] \ mathbb {F} [/ math] es un campo, entonces es fácil comprobar que ser un [math] \ mathbb {F} [/ math] -module es lo mismo que ser un espacio vectorial sobre [ math] \ mathbb {F} [/ math].

Para complementar la respuesta de Senia, agregaría que una cosa que los matemáticos definitivamente no hacen es considerar un número negativo como “magnitud y dirección” y luego confundirlo con un “vector”.

Para mí es sorprendente ver a las personas describir números negativos y números complejos como vectores (aunque pueden considerarse como tales). De alguna manera, parecen pensar que los vectores son un concepto más simple que los números … Tal intuición, creo, paralizará tu comprensión del Álgebra [matemáticas] \ ddot \ smallfrown [/ matemáticas]

Además de estas muy buenas respuestas matemáticas, me gustaría agregar una visión más práctica sobre el tema que uso para los estudiantes cuando surge este tema.

En nuestro mundo 3D necesitamos 3 números para 3 vectores ortogonales para definir de forma única un punto en el espacio. Simplemente llamamos a estos 3 números las coordenadas. Indican cuánto tiempo tenemos que recorrer cada uno de estos vectores ortogonales (ecuación a lo largo de x, y y z) para llegar al lugar deseado en el espacio.

En un espacio vectorial n-dimensional necesitamos n tales números para definir de forma única un punto en dicho espacio. ¿Cómo puedes imaginar un espacio vectorial n-dimensional? Bueno, supongamos que tienes un libro de cocina titulado

“Algunos platos elegantes que puedes hacer con 10 ingredientes”

Digamos que estos ingredientes son:

sal, pimienta, azúcar, harina, huevos, mantequilla, tomates, chile, frijoles y carne

Ahora estos 10 ingredientes son linealmente independientes entre sí. Si necesita, por ejemplo, sal, no hay una combinación lineal posible de, por ejemplo, azúcar, harina y mantequilla para obtener sal. Puede pensar en estos 10 ingredientes como vectores ortogonales en el espacio vectorial de libro de cocina de 10 dimensiones. Cada receta representa un punto en este espacio vectorial que puede alcanzar mediante una combinación única de 10 números que representan la ecuación de “longitud”. La cantidad de los ingredientes. entonces 5 sal, 5 pimienta, 0.1 azúcar, etc., conduce a un punto particular en el espacio vectorial, por ejemplo, una receta

Considere: una primera comida en un restaurante de clase alta con una fecha muy significativa.

Un par de ejes: costo de placa versus potencial-estima-para usted. Cada opción de menú tiene un vector.

Otro par de ejes: costo de placa versus costo asequible. De nuevo, un vector para cada placa.

Ahora: visualice un espacio de 3 espacios con ejes de elemento de placa versus costo asequible versus estimación potencial. Obtendrá un montón de vectores que le dirán cuál es el compromiso por placa frente a la probabilidad de que su fecha termine ‘bien’ frente a la asequibilidad de un resultado ‘agradable’.

Eso es un espacio vectorial.

Ahora: ¿los matemáticos llevan las primeras citas a restaurantes de clase alta? Esa es una pregunta diferente.

No sé exactamente a qué te refieres, supongo que no es una definición formal.

Entonces, intentemos lo que primero pienso:

Un espacio vectorial es una estructura relacionada con un campo. Los propios vectores forman un grupo abeliano y puedes escalar multiplicar con elementos del campo. Que es conmutativo, asociativo y distributivo.

Las distinciones más o menos importantes son espacios de vectores finitos, contables, incontables, dimensionales finitos, contables finitos dimensionales e incontables dimensionales infinitos.

Los homomorfismos para los espacios vectoriales son funciones lineales. Tanto la imagen como el núcleo de un homomorfismo son espacios subvectores.

Los espacios vectoriales de la misma dimensión sobre el mismo campo son siempre isomórficos. En comparación con los módulos, para darle una generalización de ellos, las dimensiones se comportan bastante bien.

También siempre poseen una base que en general no es posible para otras estructuras como los grupos.

Si estabas buscando algo diferente, dímelo.

La idea clave es la de “combinación lineal”, que significa “suma con coeficientes”.

Ejemplo de una combinación lineal: 2 x + 3 (x-5) ^ 2 – 8.5 x ^ 17 es una combinación lineal de x, (x-5) ^ 2 y x ^ 17 con coeficientes 2, 3 y -8.5 .

Si tiene una colección de objetos (vectores, matrices, polinomios, funciones, secuencias, lo que sea) de modo que pueda agregar dos y obtener un tercero y puede multiplicar cualquiera de ellos por 2 o 3 o -7 o, de hecho, por cualquier número real y obtener otro, entonces probablemente tenga un espacio vectorial. Eso es todo lo que hay que hacer. Un espacio vectorial es un reino donde puedes hacer combinaciones lineales.

Hay algunos colores primarios y el resto se componen mezclando estos colores primarios en una proporción diferente. Si mezclamos dos o más colores con cualquier proporción, obtenemos un nuevo color. Por lo tanto, hay una familia de colores que satisface la propiedad de que mezclar estos colores resulta en un miembro de la familia misma.

Del mismo modo, las matemáticas tienen un concepto abstracto de espacio vectorial que no es más que una familia que satisface ciertas propiedades. En este concepto abstracto, hay dos tipos de miembros: 1. vector y 2. escalar. Aquí, cuando mezclamos (terminología usamos suma y multiplicación) vectores, sigue ciertas reglas.

Por contexto, tengo un doctorado en matemáticas y trabajo como postdoctorado en matemáticas puras. Creo que muchas de las respuestas aquí están algo equivocadas, especialmente las de Senia, aunque lo que dice probablemente sea cierto para los algebraistas.

En mi opinión, la mayoría de los matemáticos nunca piensan genuinamente en “un espacio vectorial general”, y no deberían hacerlo. La mayoría de los matemáticos piensan en espacios vectoriales específicos (los ejemplos típicos probablemente serían espacios euclidianos (complejos) o espacios funcionales), en cuyo caso los “axiomas del espacio vectorial” son a menudo totalmente triviales, esencialmente sin valor para pensar (por ejemplo, es muy claro que la suma de dos funciones continuas es otra función continua, o que una escala de una 3-tupla de números es otra 3-tupla de números).

La utilidad de un “espacio vectorial general” es principalmente una frase gramatical que captura las características que se ven en muchos ejemplos distintos. Como un ejemplo clave de lo que quiero decir, le permite establecer teoremas de una manera útil general. Incluso entonces, sin pensarlo, no puedo pensar en ninguna matemática interesante que ocurra en “un espacio vectorial general” (tal vez estoy olvidando algo obvio). Un buen ejemplo de un resultado interesante y generalmente declarado sería el teorema espectral, que requiere tener una estructura interna del producto.

Lo entienden como cualquier conjunto con dos operaciones binarias que satisfacen ciertos axiomas. Estos axiomas se pueden encontrar en la página de Wikipedia del espacio vectorial.