¿Cómo se debe abordar un problema no resuelto en matemáticas?

Answer 1

Los problemas no resueltos no se crean de la misma manera, por lo que no puedo dar un tipo de respuesta de “talla única”. Diferentes personas también tienen diferentes enfoques de resolución de problemas.

Hay problemas que no se han resuelto, pero se cree ampliamente en el campo que pueden resolverse utilizando algún conjunto particular de herramientas. Tampoco están resueltos porque nadie ha tenido este problema específico antes (por ejemplo, actualmente estoy asesorando a algunos estudiantes que estudian con qué frecuencia los campos cuadráticos se integran en álgebras racionales de cuaterniones; hasta donde yo sé, nadie ha mirado esto antes, pero debería ser solucionable), o porque las personas saben que existe este problema, pero nadie lo ha resuelto todavía ya que el campo o las herramientas utilizadas son todavía muy nuevas (esto podría decirse que es cierto para varias piezas de geometría tropical).

Tales problemas pueden ser bastante desafiantes, pero una vez que lea sobre los antecedentes y aprenda sobre las herramientas utilizadas en el campo, tendrá algunas muy buenas ideas sobre cómo atacar un problema como este. Ciertamente no será inmediato, dependiendo del problema, podrían ser semanas, meses o años resolviendo todos los detalles y proponiendo los trucos necesarios para unir todas las piezas.

Aun así, deberías poder elaborar un plan aproximado de lo que quieres probar, y luego puedes atacar todos los componentes. Este plan cambiará a medida que aprenda más sobre el problema y comience a comprenderlo más, y eso está bien.

Hay problemas que no se han resuelto, y no está del todo claro qué tipo de herramientas podrían ser útiles para resolverlos. Estos problemas son comunes como subproblemas de problemas más grandes que le interesan. Como ejemplo: Estoy interesado en los empaques de esferas cuaterniónicas. Descubrí que la configuración algebraica correcta para hablar de esto implica lo que sospecho que es un nuevo tipo de objeto, llamado orden *. Posteriormente, estoy interesado en averiguar cuáles son las propiedades de los pedidos * y qué se puede hacer con ellos.

Leer en segundo plano sigue siendo útil, pero no está tan claro en qué se debe leer exactamente: terminas probando un montón de enfoques diferentes para ver qué produce los mejores resultados. O terminas en un callejón sin salida (aunque uno potencialmente interesante en sí mismo, que podría prestarse a nuevas conjeturas para que alguien más piense), o encuentras una ruta hacia una solución.

Finalmente, están los problemas sin resolver realmente viejos, realmente grandes. Conocer los antecedentes que se han desarrollado en torno a estos problemas puede ser muy útil por sí mismo: a veces hay varias ideas en el campo sobre cómo podría ser una solución; con mayor frecuencia, los antecedentes le darán una idea de qué tipo de resultados similares se han demostrado (en los que podría confiar) y, como mínimo, le enseñarán algunas matemáticas interesantes. Sin embargo, la verdad del asunto es que si está en condiciones de resolver uno de estos problemas, es muy poco probable que cualquier consejo que pueda darle sea útil.

También mencioné al principio que diferentes personas tienen diferentes enfoques de resolución de problemas. Permítanme ilustrar esto con dos matemáticos muy diferentes: Erdős y Grothendieck.

Parte del genio de Erdős fue su increíble habilidad para resolver un problema y ajustarlo hasta que tuviera un nuevo problema que no era muy trivial y que, sin embargo, era muy solucionable. Era como si tuviera una máquina en su cabeza que proyectaba automáticamente cualquier problema al borde del conocimiento matemático. Aún mejor, dado un problema, sabía exactamente con quién hablar sobre un problema de tal sabor. Entonces, la técnica de resolución de problemas de Erd consistía en encontrar un problema, mudarse con un matemático que estudiara problemas como este, y luego sacar un documento juntos. Entonces, él seguiría adelante. En cierto sentido, fue el último matemático en resolver problemas difíciles particulares.

Grothendieck era casi el polo opuesto. Su técnica de resolución de problemas consistía básicamente en construir un monolito de teoría de enclavamiento hasta que finalmente el problema se subsumiera esencialmente en la teoría mayor. Mientras que Erdős fue inmensamente prolífico en la publicación de artículos y en la resolución de problemas particulares, los principales logros de Grothendieck son la creación de herramientas y campos completamente nuevos para que otros matemáticos trabajen. Cambió la forma en que pensamos sobre las matemáticas en general.

Las matemáticas necesitan personas de ambos sabores: en la práctica, la mayoría de las personas terminan en algún lugar del espectro entre Erdős y Grothendieck. Descubrirá su propia técnica de resolución de problemas a través de la práctica y su propia experimentación.

Finalmente, permítanme terminar con un pequeño consejo general que es útil en muchos casos diferentes:

1. Experimenta con ejemplos . Es difícil probar algo si no tienes una intuición básica sobre lo que está sucediendo. Muchas veces, elaborar algunos ejemplos concretos puede ser útil.
2. Prueba algunos casos especiales. Vea si puede resolver el problema para algunos casos especiales. A veces, esto resulta ser más fácil, y luego puedes trabajar en generalizar la prueba.
3. Intenta demostrar un resultado más débil . A veces, no puedes probar el resultado que realmente deseas. Sin embargo, incluso obtener un resultado parcial puede ser útil: puede ser suficiente para sus propósitos, y puede ser que usted u otra persona más tarde puedan venir y generalizarlo más tarde.
4. Intente ver cómo este problema encaja en un espectro más amplio de problemas. Esto es casi lo contrario del punto (2): a veces, generalizar un problema hace que sea más fácil de resolver, ya que te das cuenta de que hay mucha información extraña que nunca necesitaste.
5. No tengas miedo de hablar con otras personas . Existe un mito prevaleciente de que las matemáticas son desarrolladas principalmente por genios solitarios que se esconden. La verdad del asunto es que el 99% de las matemáticas no se hacen de esta manera; de hecho, es bastante raro que los matemáticos mantengan su trabajo en secreto. Si duda de esto, le recomiendo que eche un vistazo a algunos documentos importantes sobre teoría de números, geometría algebraica, o lo que sea que le interese, y vea cuántos de ellos no tienen un coautor ni ningún reconocimiento importante.

Answer 2

No creo que nadie pueda responder a esta pregunta muy bien (o para su satisfacción al 100 por ciento), ya que es demasiado amplio para que yo responda.

Para mí, no hay forma de que alguien te diga en general cómo. Depende de muchos factores. Para diferentes problemas, uno puede usar enfoques muy diferentes; una persona que conoce bien un problema puede no saber nada sobre otro problema. Un problema específico puede ser atacado por muchos enfoques diferentes, alguien resuelto un problema puede que ni siquiera conozca otro enfoque.

Bueno. Si alguien me pide una opinión específica como usted acaba de hacer, tendría que decir la idea habitual de responder a su pregunta. Mi respuesta es no”! Ni siquiera debe intentar resolver un problema en serio a menos que haya intentado lo suficiente con un conocimiento fundamental sólido en los campos relacionados. Pero, por supuesto, antes de resolver el problema, no conocemos el método y el conocimiento de qué campo le daría el poder para resolver el problema. Ese es el problema. Sé que tal vez no te guste esta respuesta, pero esa es mi respuesta.

La razón principal para que lo diga es que solo si tiene suficiente preparación sólida, es posible que no tenga la oportunidad de lograr su objetivo para resolver un problema. Debido a que la resolución de un problema a menudo requiere bastante tiempo, en caso de que no pueda resolverlo, intentarlo demasiado en serio podría costarle demasiado en su vida. A menos que sea realmente un genio, no creo que exista, la realidad es que no tiene muy buenas posibilidades de resolver el problema que plantea, porque algunos expertos ya han estudiado muy seriamente cada problema.

Tal vez por eso la gente estaría más interesada en probar algunos problemas recientemente propuestos, en caso de que haya una manera fácil que nadie haya encontrado todavía. Pero para un problema “antiguo”, cuanto más tiempo se proponga, menos probable es que alguien pueda resolverlo por suerte, a menos que realmente haya intentado y haya resuelto algún plan inusual para abordar el problema.

Sin embargo, eso no significa que no deba intentar resolver ningún problema. De hecho, debe tratar de abordar tantos problemas como desee, siempre que tenga interés y energía. El problema es que no debe establecer su objetivo demasiado alto resolviendo el problema desde el principio. En cambio, solo intentas muchos problemas, tal vez incluso publicas algunos documentos reflexionando seriamente sobre esos problemas. Pero, no establezca el objetivo de terminar el juego demasiado en serio demasiado pronto. Eso es lo que estoy tratando de decir.

Si ve alguna esperanza real de resolver un problema después de intentarlo durante un tiempo, entonces, por supuesto, debería terminar el negocio haciéndolo seriamente. Por lo general, un joven matemático con una educación y capacitación rigurosas debe apuntar a una carrera de investigación en lugar de resolver un problema específico en matemáticas. Espero que lo que dije tenga sentido para ti.

Answer 3

Los matemáticos generalmente no se consideran científicos. Lo que significa que la observación y la repetibilidad no están dentro de los requisitos del matemático.

Prefiero un método utilizado por Gauss que divide los problemas en dos grupos;

aquellos que requieren observación y repetibilidad y, por lo tanto, física,

y los que no (considero las matemáticas).

Si el problema aparece más adelante, intento reformularlo para el primero (la física, que se supone que es ciencia; cuando no es ciencia, prevalecen las expectativas poco realistas). Cuando no encuentro el criterio científico presente, mantengo la clara posibilidad de que las matemáticas hayan introducido la paradoja real.

ejemplos:

1: La transformación de Lorentz introduce una paradoja gemela a través de las matemáticas.

2: Infinity a menudo introduce un proceso interminable como un número que nunca puede existir.

nunca puede ser un número El comportamiento asintótico no equivale al símbolo = y a menudo introduce paradojas como las que experimentó Zenón.

3: Los procesos irracionales interminables suelen ir acompañados de conclusiones poco realistas.

4: lo introduje como un número complejo en lugar de un conteo rotativo puede introducir conclusiones irracionales. Los problemas de geometría señalados por Gauss (espacio de prueba) pueden resolverse con este método.

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Answer 4

Los problemas no resueltos podrían utilizar una gran cantidad de pensamiento no convencional.

A veces, debes darte cuenta de que lo que te han estado diciendo en la universidad, etc., es simplemente incorrecto.

Encuentras cosas interesantes si hurgas de diferentes maneras. Por ejemplo, he estado presionando el análisis dimensional adicional en física, y lentamente estoy llegando a la conclusión de que GRT es un poco exagerado.

Del mismo modo, encontré el camino rápido hacia la geometría hiperbólica al superar algunas fobias simples (como un triángulo 1: 1: 3 puede existir).

Answer 5

No pregunte a las personas que no lo han resuelto cómo abordarlo.

No estoy tratando de insultar al interrogador, pero por favor toma tu propio camino, la evolución depende de ello.

Answer 6

Si tiene que preguntar esto, claramente no está listo y no podrá resolverlo de todos modos.

Lea más cosas relacionadas con el problema y cuando esté listo, usted mismo sabrá la respuesta

Answer 7

Revisar reglas fundamentales en lógica.