¿Vale la pena centrarse en sumar dos más tres en lugar de los axiomas de Peano de la teoría de números? ¿Vale la pena centrarse en resolver ecuaciones cuadráticas en lugar de la teoría de Galois de demostrar que tienen soluciones? ¿Vale la pena centrarse en resolver ecuaciones diferenciales en lugar de demostrar que tienen soluciones únicas?
Para todas estas preguntas, en mi opinión, la respuesta es: de alguna manera, sí; en otros sentidos, no.
Por un lado, no son “preguntas importantes”. Además de ubicarlas en un contexto mayor, el valor de esta o aquella integral rara vez tiene un significado real. (La única excepción que se me ocurre sería la gaussiana, y aun así, se basa en los contextos en los que emerge).
Además, en los tiempos modernos, realmente no necesitas los trucos si tienes una computadora. Mathematica y W | A pueden hacer mucho trabajo analítico, y si la integral es demasiado difícil para ellos, a menudo también puede hacerlo numéricamente.
Por otro lado, poder hacer lo básico es bueno por varias razones:
- Sirven como casos de construcción de intuición (y controles); evaluar los “casos base” le permite ver patrones.
- En cierto sentido, son el “objetivo”, en el sentido de que en realidad son el problema que el cálculo se propone “resolver”, por lo que sí, poder hacer los cálculos al menos en principio es importante.
- Ser capaz de hacer esas integrales es un signo de verdadera comprensión, en lugar de “sentir que entiendes”; Sirven como un diagnóstico de comprensión (aunque uno que puede tener falsos negativos).
- Comprender por qué funcionan sirve como buenos “ejercicios” en el sentido de que le da razones para pensar en lo que ya debería saber sin pasar a otra cosa difícil; por lo tanto, cumplen un importante propósito pedagógico de manera más efectiva que pasar al siguiente tema difícil. ¡Haz más sin entender lo que sucedió antes y aprenderás menos!
Además, algunas cosas que de otro modo podría descartar como “trucos” son más fundamentales de lo que parecen. Tanto la integración por partes como la sustitución en U caen en esta categoría: el primero es el origen de todo tipo de argumentos de “ley de conservación”, y el segundo es un elemento básico de intuición tan básico que ni siquiera puedo enumerar lo que se estaría perdiendo. si no pudiste ejecutarlo.
Por lo tanto: las bases son más importantes que los trucos, pero algunos trucos son menos “difíciles” de lo que parecen. Debería ser capaz de comprender por qué los trucos funcionan incluso si no los necesita, e inevitablemente necesitará algunos trucos para los cálculos prácticos que también debe hacer (aunque solo sea para asegurarse de tener un manejo tan bueno del material como te sientes como si tuvieras)
Mi valoración personal:
- Tanto la sustitución en U como la integración por partes son esenciales. Ambos trabajan en términos de funciones abstractas, no formas integrales específicas, por lo que se muestran por todas partes . (En cierto sentido, son importantes por la misma razón que la regla de producto y cadena, respectivamente, porque en eso se basan).
- Sustitución de trigonometría, fracciones parciales e integrales trigonométricas más largas ([matemáticas] \ tan ^ 3 \ cos ^ 7 [/ matemáticas]), tengo sentimientos encontrados:
- Debe tener en cuenta que los trucos existen y, por lo general, debe poder reconocer cuándo son relevantes (ocasionalmente aparecen como pasos necesarios para otro problema)
- No necesariamente necesita recordar perfectamente cómo ejecutarlos (puede buscarlos cuando los necesite).
Algunos trucos de clases más avanzadas:
- Las coordenadas polares wrt de doble integración solo son importantes debido a la Gauss. Es un buen truco para ese caso, pero solo para ese caso.
- Diferenciar bajo el signo integral es un truco importante a tener en cuenta, en gran parte debido a las sutilezas analíticas que surgen al tratar de intercambiar los dos límites involucrados.
- Las sustituciones complejas (tomar [math] \ int e ^ x \ sin (x) [/ math] y reemplazar el argumento con un único exponencial complejo) son útiles, por lo que tengo la misma opinión que la sustitución trigonométrica, etc.
- Las integrales de contorno son de vital importancia general una vez que las aprende, a la par con (si no más importante que) la sustitución en U y la integración por partes.
No conozco ningún otro truco general (al menos, ninguno que considere importante). Por lo tanto, caso por caso, diría: conozca los trucos fundamentales que se aplican a las “funciones” abstractas generales; más allá de eso, es útil (aunque no esencial) poder reconocer al menos cuándo un cierto truco sería útil [para la prueba ocasional en la que necesita evaluar una integral para estimar algo], incluso si no es necesario tener El truco comprometido con la memoria.