Antes de comenzar a diferenciar las cosas: ¿cómo definiste qué significa [matemática] 2 ^ x [/ matemática]? Espero que podamos estar de acuerdo en que no tiene sentido diferenciarlo si no sabemos qué es .
De hecho, podría definir [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] en las siguientes líneas. Si [math] x = m [/ math] es un entero positivo, definimos [math] 2 ^ m [/ math] como de costumbre para ser el producto de [math] m [/ math] [math] 2 [/ math ] ‘s. Si [math] x [/ math] es cero, definimos [math] 2 ^ 0 = 1 [/ math]. Si [math] x [/ math] es un entero negativo, definimos [math] 2 ^ {- m} = 1/2 ^ m [/ math]. Si [math] x [/ math] ahora es un número racional [math] x = a / b [/ math], definimos [math] 2 ^ {a / b} = \ sqrt [b] {2 ^ a} [/matemáticas]…
Pero, espere un minuto, ¿cuál es esta [matemática] \ sqrt [b] {} [/ matemática] de la que habla? ¿Qué significa “tomar una raíz [matemática] b [/ matemática]” y cómo sabemos que siempre se puede hacer? Necesitamos asegurarnos de haberlo definido para cualquier número real positivo. Esto se puede hacer, pero requiere trabajo.
Y una vez que hayamos hecho esto, aún no tenemos claro qué debería significar [matemática] 2 ^ x [/ matemática] cuando [matemática] x [/ matemática] no es racional. Para solucionarlo, desea que [math] 2 ^ x [/ math] sea el límite de [math] 2 ^ {q_n} [/ math] siempre que [math] q_n \ to x [/ math] sea una secuencia infinita de números racionales que tienden a [matemáticas] x [/ matemáticas]. Pero ahora hay un nuevo conjunto de problemas: ¿cómo sabemos que existe este límite y cómo sabemos que es el mismo independientemente de la secuencia que elija? Después de todo, cualquier número irracional es el límite de infinitas secuencias diferentes de números racionales.
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Entonces, como puede ver, antes de que pueda comenzar a hablar sobre la derivada de [math] y = 2 ^ x [/ math], necesita hacer mucho trabajo para definir qué significa esta función.
Y una vez que lo haga, quiere demostrar que en realidad satisface las reglas que espera que cumpla, lo más importante [matemáticas] 2 ^ {a + b} = 2 ^ a 2 ^ b [/ matemáticas]. Sabemos que esto se cumple cuando [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son enteros positivos, pero ¿se cumple cuando son negativos? ¿Racional? ¿Real pero irracional? No debe tratar de tomar la derivada antes de mostrar esos hechos básicos sobre la exponenciación.
Pero digamos que hiciste todo eso. ¿Ahora que?
Bueno, la derivada de [matemáticas] y = 2 ^ x [/ matemáticas] en [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] es, por definición
[matemáticas] \ displaystyle y ‘(x_0) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {2 ^ {x_0 + h} -2 ^ {x_0}} {h} = 2 ^ {x_0} \ lim_ {h \ a 0} \ frac {2 ^ h-1} {h} [/ math].
Esto es casi todo lo que necesitas. El punto de esta expresión es que el número
[matemáticas] \ displaystyle C = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {2 ^ h-1} {h} [/ matemáticas],
sea lo que sea, es independiente de [math] x_0 [/ math]. Entonces, o este límite no existe en absoluto, o si es así, entonces lo llamamos [matemáticas] C [/ matemáticas] y hemos demostrado que
[matemáticas] y = 2 ^ x [/ matemáticas] implica
[matemáticas] y ‘= C 2 ^ x [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que lo único que necesitamos para mostrar esto es el hecho de que [matemáticas] 2 ^ {a + b} = 2 ^ a2 ^ b [/ matemáticas]. Entonces, independientemente de todo el trabajo que hicimos o no hicimos con poderes racionales e irracionales, solo en base a esta propiedad simple que deseamos que tengan los exponentes, hemos determinado completamente la derivada, hasta una constante multiplicativa fija, [matemática] C [ /matemáticas].
Ahora, entre usted y yo, realmente sabemos qué es [matemáticas] C [/ matemáticas]: es [matemáticas] \ ln (2) [/ matemáticas]. Pero dado que no se nos permite “saber [matemáticas] e [/ matemáticas]”, difícilmente se puede esperar que sepamos qué significa [matemáticas] \ ln [/ matemáticas], ¿verdad? Entonces, todo lo que podemos hacer dado nuestro estado de el conocimiento es dejarlo así: podemos demostrar que [matemática] C [/ matemática] existe trabajando tan duro como necesitábamos para definir [matemática] 2 ^ x [/ matemática] en primer lugar, y nosotros puede proporcionar varias estimaciones calculando, digamos
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2 ^ {1/100} -1} {1/100} = 100 (2 ^ {1/100} -1) \ aprox 0.696 [/ matemáticas]
(Para hacer eso, por supuesto, necesitamos saber cómo extraer la raíz [matemática] 100 [/ matemática] de un número, pero presumiblemente sí sabemos cómo hacerlo, ya que de lo contrario ni siquiera podemos saber qué [ matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] significa).
Pero lo principal es que sabemos que la derivada de [matemática] 2 ^ x [/ matemática] es algunas veces constantes [matemática] 2 ^ x [/ matemática]. Y no necesitábamos nada más que la propiedad multiplicativa de los exponentes, mientras que identificar la constante es esencialmente una cuestión de reconocerla como el valor de [math] \ log [/ math] en [math] x = 2 [/ math].
Creo que esto muestra que no tiene sentido forzarnos artificialmente a correr hacia adelante y hacer cosas complicadas fuera de su orden lógico. Es posible definir exponentes arbitrarios sin mencionar la función exponencial, los logaritmos, etc., pero no es necesariamente muy esclarecedor o útil, porque en realidad es más difícil .
Es mucho más fácil definir primero la función [math] \ exp [/ math] (como hicimos aquí), como la solución única para [math] f ‘= f [/ math] con [math] f (0) = 1 [/ math], y luego defina su inverso [math] \ log [/ math], y luego defina [math] 2 ^ x = \ exp (x \ log (2)) [/ math]. Puede pensar que es difícil, pero si considera lo que realmente necesitaba hacer para definir [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] a partir de los primeros principios, puede darse cuenta de que usar [matemáticas] \ exp [/ matemáticas] no es ‘ No es más difícil en absoluto.