Un concepto que al principio parece benigno, pero que luego tiene consecuencias sorprendentes que perseguirán al resto de su carrera matemática, es el Axioma de elección. Todo lo que dice es que, dada una colección de conjuntos no vacíos, puede crear una función que elija un elemento de cada conjunto.
Eso parece bastante simple, pero al aceptar el axioma de elección, también debemos aceptar un montón de resultados contraintuitivos:
- Paradoja de Banach-Tarski: ¡Puedes diseccionar una esfera unitaria en un puñado de piezas y luego volver a unir las piezas en 2 esferas de unidades!
- Conjunto no medible: hay conjuntos de números reales que son tan extraños que no se les puede asignar una “longitud” significativa
- Teorema del buen orden: puede ordenar los números reales (necesariamente diferentes del orden habitual “menor que”), de modo que cualquier secuencia decreciente debe ser finita.
Hay una cita famosa y divertida que destaca la naturaleza desconcertante del axioma de elección:
El Axioma de Elección es obviamente cierto, el principio de buen orden obviamente falso, y ¿quién puede contar sobre el lema de Zorn?
- ¿Qué temas las matemáticas no pueden expresar?
- ¿Cuál es la aplicación de las matemáticas en general y el cálculo específicamente en nuestras vidas?
- ¿Puedo convertirme en un CS sin matemáticas y economía?
- ¿Son las matemáticas lo suficientemente buenas como para describir todo?
- ¿Por qué las matemáticas son tan difíciles?
– Jerry Bona
Wikipedia explica:
Esto es una broma: aunque los tres son matemáticamente equivalentes, muchos matemáticos consideran que el axioma de elección es intuitivo, el principio de buen orden es contraintuitivo y el lema de Zorn es demasiado complejo para cualquier intuición.