Alexander Grothendieck fue (es) un genio de primer orden y un espíritu realmente sorprendente. Freeman Dyson una vez clasificó a los matemáticos como de aproximadamente dos tipos: pájaros y ranas. El último grupo estudia los detalles finos del terreno; el primer grupo se eleva muy por encima y examina el paisaje. Grothendieck era el ave que más se elevaba: para Grothendieck, un problema no se resolvió realmente hasta que se lo vio desde la perspectiva general “correcta”, desde la cual se pudo resolver sin esfuerzo, desde el cual se hizo obvio, desde el cual encajaba. naturalmente en un marco conceptual más amplio. Como el mismo Grothendieck explicó, más bien poéticamente:
La … analogía que se me ocurrió es sumergir la nuez en un líquido suavizante, y ¿por qué no simplemente agua? De vez en cuando frotas para que el líquido penetre mejor y de lo contrario dejas pasar el tiempo. La cáscara se vuelve más flexible a través de semanas y meses: cuando el tiempo está maduro, la presión de las manos es suficiente, la cáscara se abre como un aguacate perfectamente maduro.
Una imagen diferente me vino hace unas semanas. Lo desconocido que se sabe me pareció un tramo de tierra o una marga dura, resistiendo la penetración … el mar avanza insensiblemente en silencio, nada parece suceder, nada se mueve, el agua está tan lejos que apenas lo escuchas … pero finalmente rodea la sustancia resistente “.
Grothendieck mostró signos de su brillantez desde temprana edad:
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Fue en Montpellier, durante sus días de licenciatura, donde experimentó su primera experiencia matemática real. Estaba muy insatisfecho con la enseñanza que estaba recibiendo. Le habían dicho cómo calcular el volumen de una esfera o una pirámide, pero nadie le había explicado la definición del volumen. Es un signo inconfundible de un espíritu matemático querer reemplazar el “cómo” con un “por qué”. Un profesor de Grothendieck le aseguró que cierto Lebesgue había resuelto los últimos problemas pendientes en matemáticas, pero que su trabajo sería demasiado difícil de enseñar. Solo, casi sin pistas, Grothendieck redescubrió una versión muy general de la integral de Lebesgue. La génesis de este primer trabajo matemático, realizado en total aislamiento, se describe maravillosamente en Récoltes et Semailles : descubrió que era matemático sin saber que existía algo así como matemático.
Los primeros trabajos “reales” de Grothendieck en análisis funcional, realizados durante sus estudios de posgrado, ya fueron muy impresionantes:
Schwartz [el asesor de doctorado de Grothendieck] le dio a Grothendieck un documento para leer que acababa de escribir con Dieudonné, que terminó con una lista de catorce problemas sin resolver. Después de unos meses, Grothendieck los resolvió todos. Trate de visualizar la situación: por un lado, Schwartz, que acababa de recibir una Medalla Fields y estaba en la cima de su carrera científica, y por otro lado, el estudiante desconocido de las provincias, que tenía una educación bastante inadecuada y poco ortodoxa.
Pero poco después, Grothendieck cambió los campos a la geometría algebraica. Aquí es donde pasó el resto de su carrera matemática e hizo sus contribuciones más revolucionarias. Mencionaré brevemente algunos de estos.
La primera gran contribución de Grothendieck a la geometría algebraica fue la noción de un esquema. Rene Descartes quizás podría ser considerado el “padre” de la geometría algebraica debido a su observación de que las soluciones a las ecuaciones algebraicas se pueden graficar geométricamente . Pero, ¿qué pasa con las ecuaciones sobre campos finitos como [math] \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [/ math] ?, por ejemplo, ecuaciones polinómicas “mod p”? Las variedades algebraicas correspondientes, los conjuntos de soluciones para tales ecuaciones, son conjuntos finitos y, a primera vista, parecería que no podría haber ningún tipo de geometría razonable o no trivial sobre un conjunto finito … ¿verdad? La idea de Grothendieck era, en términos generales, considerar no solo la variedad algebraica en sí misma sino considerarla junto con un conjunto de funciones . Con este enriquecimiento, se hace posible hablar de cosas como formas diferenciales, vectores tangentes (equivalentes, derivados) y paquetes de vectores sobre tales variedades algebraicas finitas, así como objetos algebraicos y geométricos más generales, de una manera coherente que se asemeja mucho La teoría correspondiente proviene de la geometría diferencial.
Uno de los grandes problemas a los que se aplicó por primera vez la teoría de esquemas fueron las conjeturas de Weil sobre la cuestión del número de soluciones de ecuaciones algebraicas sobre campos finitos. Para la prueba de estas conjeturas, Weil postuló la existencia de una teoría de la cohomología para tales variedades algebraicas que imitaba la teoría de la cohomología proveniente de la topología de múltiples. Sin embargo, la construcción de la teoría de la cohomología topológica no se pudo aplicar directamente a los esquemas debido a que no hay “conjuntos suficientes” en la topología de Zariski. Así que Grothendieck generalizó la noción de topología, introduciendo topologías de Grothendieck, que (junto con la maquinaria de los functores derivados, también introducida por Grothendieck) posteriormente permitió la construcción de la teoría de la cohomología postulada por Weil, y eventualmente [su estudiante] la prueba de Deligne de Weil conjeturas De hecho, Grothendieck imaginó un conjunto aún más amplio de conjeturas, que llamó las “conjeturas estándar” de las cuales se derivarían las conjeturas de Weil; Hasta ahora, las conjeturas estándar todavía están parcialmente abiertas.
Grothendieck no estaba interesado en las conjeturas de Weil porque eran famosas o porque otras personas las consideraban difíciles. De hecho, no estaba motivado por el desafío de los problemas difíciles. Lo que le interesaba eran los problemas que parecían apuntar a estructuras más grandes y ocultas. “Apuntaría a encontrar y crear el hogar que fuera el hábitat natural del problema”, señaló Deligne. “Esa fue la parte que le interesó, más que resolver el problema”. Este enfoque contrasta con el de otro gran matemático de la época, John Nash. En su mejor momento matemático, Nash buscó problemas específicos considerados por sus colegas como los más importantes y desafiantes. “Nash era como un atleta olímpico”, comentó Hyman Bass, de la Universidad de Michigan. “Estaba interesado en enormes desafíos personales”. Si Nash es un ejemplo ideal de un solucionador de problemas, Grothendieck es un ejemplo ideal de un constructor de teorías. Grothendieck, dijo Bass, “tuvo una visión amplia de lo que podrían ser las matemáticas”.
La idea final de Grothendieckian que me gustaría mencionar es la del functor de los puntos . Grothendieck amplió nuestra comprensión y concepción de la geometría una vez más al notar que un objeto geométrico [matemático] X [/ matemático] puede entenderse completamente en términos de todos los mapas de otros objetos en [matemático] X [/ matemático]. Por lo tanto, [math] X [/ math] se puede reemplazar por el functor que asocia cada [math] Y [/ math] al conjunto de mapas [math] Y \ to X [/ math]. ¡Cambiando esto, esto nos permite pensar geométricamente sobre ciertos functores! ¡Podemos hablar, por ejemplo, del espacio tangente de un functor! Este tipo de pensamiento conduce a la teoría de las pilas. Como ejemplo de una aplicación, los matemáticos (y más tarde, los teóricos de cuerdas) estaban interesados en estudiar el espacio de módulos de las curvas, un espacio que en cierto sentido parametriza todas las curvas (o superficies de Riemann). Pero resulta que, por razones técnicas, dicho objeto no puede existir como un espacio o esquema ordinario. Sin embargo, el punto de vista de Grothendieck nos permite tratarlo coherentemente como una especie de espacio geométrico generalizado, como una pila.
De manera más general, este punto de vista, que enfatiza los objetos y enfatiza los mapas , es la visión de la teoría de categorías; Grothendieck fue uno de los primeros y más pioneros defensores de este enfoque.
A partir de estos ejemplos, se puede ver el poder supremo de generalización de Grothendieck y su visión al vincular juntos campos matemáticos aparentemente dispares. También puede ver con suerte cómo amplió nuestra comprensión de la noción de geometría y espacio; es muy comparable a cómo la teoría general de la relatividad de Albert Einstein amplió nuestra comprensión de la geometría del espacio-tiempo.
Por otro lado, a pesar de su habilidad para trabajar en general extrema, Grothendieck no fue necesariamente tan bueno cuando se trata de ejemplos concretos:
Una característica sorprendente del modo de pensar de Grothendieck es que parecía confiar tan poco en los ejemplos. Esto se puede ver en la leyenda del llamado “Grothendieck prime”. En una conversación matemática, alguien le sugirió a Grothendieck que deberían considerar un número primo en particular. “¿Te refieres a un número real?”, Preguntó Grothendieck. La otra persona respondió, sí, un número primo real. Grothendieck sugirió: “Está bien, tome 57”.
Pero Grothendieck debe haber sabido que 57 no es primo, ¿verdad? Absolutamente no, dijo David Mumford de la Universidad de Brown. “No piensa concretamente”.
Lamentablemente, Grothendieck finalmente abandonó las matemáticas por completo y tal vez sufrió algún tipo de colapso psicológico. La historia detrás de esto es larga e interesante y puede leerla en Wikipedia o en los enlaces a continuación.
Referencias (la mayoría de las citas en esta respuesta provienen de estas fuentes):
http://www.ams.org/notices/20040…
http://www.ams.org/notices/20041…
http://www.math.jussieu.fr/~leil…
http://www.math.jussieu.fr/~leil…