Maximizar [matemáticas] V (x, y, z) = xyz [/ matemáticas] para [matemáticas] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ vert \, 4x + 4y + 4z = P, \ right. [/ math] [math] \ left.2xy + 2yz + 2zx = S \ right \} [/ math], donde [math] P [/ math] y [math] S [/ math] son ​​constantes conocidas.

Answer 1

Supongamos que deseamos encontrar números reales [matemática] x, y, z [/ matemática] que satisfagan:

[matemática] 4x + 4y + 4z = P [/ matemática], [matemática] 2xy + 2yz + 2zx = S [/ matemática] y [matemática] xyz = V [/ matemática]

para algunas constantes conocidas [matemáticas] P, S, V [/ matemáticas].

Ahora, considere el polinomio [matemáticas] f (t) = (tx) (ty) (tz) [/ matemáticas].

Expanda esto y conecte las restricciones para obtener:

[matemáticas] f (t) = t ^ 3 – (x + y + z) t ^ 2 + [/ matemáticas] [matemáticas] (xy + yz + zx) t – (xyz) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (t) = t ^ 3 – \ tfrac {P} {4} t ^ 2 + \ tfrac {S} {2} t – V [/ matemáticas].

Entonces, para cualquier [matemática] P, S, V [/ matemática], podemos encontrar [matemática] x, y, z [/ matemática] que satisfacen las ecuaciones anteriores al encontrar las tres raíces reales de [matemática] f ( t) [/ matemáticas]. Si la [matemática] f (t) [/ matemática] cúbica no tiene tres raíces reales, entonces no hay solución.

Ahora, necesitamos determinar el valor más grande de [math] V [/ math] (en términos de [math] P, S [/ math]) de modo que [math] f (t) [/ math] tenga tres raíces reales y encuentra esas tres raíces reales.

Considere la gráfica de [matemáticas] f (t) [/ matemáticas]. A medida que [math] V [/ math] aumenta, la gráfica de [math] f (t) [/ math] se desplaza hacia abajo. Para un cierto valor de [math] V [/ math], el gráfico es tangente al eje [math] t [/ math] en su máximo local. Para este valor de [math] V [/ math], [math] f (t) [/ math] tiene una raíz doble (en su máximo local) y otra raíz real. Si [math] V [/ math] es más grande, [math] f (t) [/ math] tendrá una raíz real y dos raíces complejas.

Para encontrar el máximo local, tome la derivada, ajústela a cero y resuelva:

[matemáticas] f ‘(t) = 3t ^ 2 – \ tfrac {P} {2} t + \ tfrac {S} {2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ dfrac {P \ pm \ sqrt {P ^ 2 – 24S}} {12} [/ matemáticas]

Como el coeficiente principal de la [matemática] f (t) [/ matemática] cúbica es positivo, el máximo local estará en el menor de los dos valores de [matemática] t [/ matemática].

Entonces, dos de las raíces de [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] (para el máximo posible [matemáticas] V [/ matemáticas]) son [matemáticas] x = y = \ dfrac {P – \ sqrt {P ^ 2 – 24S}} {12} [/ matemáticas].

Para satisfacer la restricción [matemática] 4x + 4y + 4z = P [/ matemática], necesitamos [matemática] z = \ dfrac {P + 2 \ sqrt {P ^ 2 – 24S}} {12} [/ matemática].

Por lo tanto, el máximo [matemático] V (x, y, z) [/ matemático] para [matemático] x, y, z [/ matemático] que satisface las restricciones se logra mediante:
[matemáticas] x = y = \ dfrac {P – \ sqrt {P ^ 2 – 24S}} {12} [/ matemáticas] y [matemáticas] z = \ dfrac {P + 2 \ sqrt {P ^ 2 – 24S} } {12} [/ matemáticas].

Para encontrar el valor máximo de [math] V (x, y, z) [/ math], simplemente inserte esos valores de [math] x, y, z [/ math].

Answer 2

[matemática] \ izquierda (x + y + z \ derecha) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2xy + 2yz + 2zx [/ matemática]
[matemáticas] \ implica x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = \ frac {P ^ 2} {16} – S [/ matemáticas]

Aplique la desigualdad AM-GM para [math] \ left \ {x ^ 2, y ^ 2, z ^ 2 \ right \} [/ math].
[matemática] \ implica \ izquierda (\ frac {P ^ 2} {48} – \ frac {S} 3 \ derecha) ^ \ frac {3} {2} \ geq xyz [/ matemática]

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[matemática] \ langle V \ rangle = \ langle yz, xz, xy \ rangle [/ math], [math] \ langle S \ rangle = \ langle y + z, x + z, x + y \ rangle [/ math ], [matemáticas] \ langle P \ rangle = \ langle 1, 1, 1 \ rangle [/ math].

Sistema de ecuaciones para resolver

• [matemáticas] yz = \ lambda_1 + \ lambda_2 (y + z) [/ matemáticas]
• [matemáticas] xz = \ lambda_1 + \ lambda_2 (x + z) [/ matemáticas]
• [matemáticas] xy = \ lambda_1 + \ lambda_2 (x + y) [/ matemáticas]
• [matemáticas] xy + xz + yz = \ frac {S} {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] x + y + z = \ frac P 4 [/ matemáticas]

Agregue los primeros tres para obtener, [matemática] \ frac {S} {2} = 3 \ lambda_1 + \ lambda_2 \ frac {P} {2} [/ matemática].

De las primeras 2 ecuaciones, [matemáticas] y = z [/ matemáticas]. Del tercero, [math] y = z = \ lambda_2 [/ math].

[matemáticas] \ implica z = \ frac P 4 – 2 \ lambda_2 [/ matemáticas]

De la cuarta ecuación, [matemáticas] \ frac P 2 \ lambda_2 – 3 \ lambda_2 ^ 2 = \ frac S 2 [/ matemáticas]

Resuélvelo hombre.

Para P = 20, S = 14. [matemática] \ lambda_2 = 1, \ frac 7 3 [/ matemática].

Volumen = [matemática] \ left (\ frac P 4 – 2 \ lambda_2 \ right) \ lambda_2 ^ 2 [/ math]