¿Cuáles son algunas categorías de números irracionales? (al igual que los números racionales e irracionales son categorías de números reales)?

Las 2 distinciones principales para los números reales son:
Racional vs Irracional
y
Algebraico vs Trascendental

La primera distinción es muy clara:
Un número real r es racional si existe [math] p \ in \ mathbb {Z} [/ math] y [math] q \ in \ mathbb {N} ^ {*} [/ math] como [math] r = \ frac {p} {q} [/ math]. Si no es así, es un número irracional.

El hecho de que la extensión decimal de un número racional siempre termine después de un número finito de dígitos o comience a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez, puede ayudarnos a determinar si un número real es racional o no.
Esta propiedad generalmente facilita la determinación de la naturaleza de un número real.
Tenga en cuenta que algunos números famosos como la constante de Euler-Mascheroni o los valores de la función zeta de Riemann en algunos enteros impares no han demostrado ser irracionales (¡incluso si se sospecha que lo son!).

La segunda distinción es un poco más compleja y ha sido el origen de muchos problemas abiertos en la teoría de números.
Un número real x es algebraico si es la raíz de un polinomio distinto de cero en una variable con coeficientes racionales. Si no, entonces el número se llama “trascendental”.

Por ejemplo, [math] \ sqrt {2} [/ math] (que es irracional) también es algebraico.
De hecho, es una raíz de [matemáticas] P (X) = X ^ 2-2 [/ matemáticas].
¡Obviamente los números racionales también son algebraicos! Pero este no es el caso de los números irracionales que están separados en estas dos categorías.
Joseph Liouville fue el primer matemático en demostrar la existencia de un número trascendental “la constante de Liouville”:
[matemáticas] \ suma \ límites_ {k = 0} ^ {\ infty} 10 ^ {- k!} = 0.11000100000000000000000010000 [/ matemáticas] …

Pero probar que un número es trascendental puede ser muy difícil. Por ejemplo, tomó mucho tiempo demostrar que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas] son ​​números trascendentales, y aún no sabemos si [matemáticas] \ pi + e [/ matemáticas] es algebraico o no …

Algunos hechos que debes saber:

  • Los conjuntos de números racionales e irracionales son densos en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Esto implica que el conjunto de números algebraicos también es denso en [math] \ mathbb {R} [/ math].
  • El conjunto de números racionales es contable (existe una función inyectiva f desde el conjunto a [math] \ mathbb {N} [/ math], ver Conjunto contable para algunos detalles).
  • ¡El conjunto de números irracionales es incontable! Mientras que los números algebraicos forman un conjunto contable.
  • El conjunto de números trascendentales es denso e incontable.
  • Incluso si es generalmente (muy) difícil demostrar que un número aleatorio es trascendental y si conocemos principalmente números algebraicos, casi todos los números reales son trascendentales.

Para agregar a la vena de números algebraicos versus trascendentales, también están los enteros algebraicos reales , que no son necesariamente enteros (aunque incluyen todos los enteros). Se definen como el conjunto de números reales que son raíces de ecuaciones polinómicas con enteros. coeficientes tales que el coeficiente principal es 1.

Curiosamente, los únicos números racionales que son enteros algebraicos son, de hecho, solo los enteros mismos. Esta es en realidad una propiedad muy importante en el álgebra conmutativa llamada normalidad de un dominio integral y, de hecho, es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética. La prueba es fácil y puede ser un ejercicio divertido.

Simon Cazals y Trym Bruset mencionaron números algebraicos y trascendentales.

También vale la pena mencionar los números computables y no computables.
(ver número computable)

Los números computables son contables, por lo que los números no computables son incontables.

Los números computables incluyen todos los números algebraicos y algunos números trascendentales como [math] e [/ math] y [math] \ pi [/ math].

La mayoría [casi todos] los números trascendentales son indiscutibles.

Hay números algebraicos, que son soluciones a ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Estos incluyen todos los racionales, además de muchos irracionales. Por ejemplo, sqrt (2) es una solución para x ^ 2-2 = 0. Casi todos los números que has visto pertenecen a esta categoría.

Luego están los números trascendentales. Estos son los reales que no son soluciones para ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Los números pi y e son ejemplos clásicos. Todos estos son irracionales.

Los números trascendentales superan en gran medida a los números algebraicos. Si dibujara una recta numérica, de decir 0 a 1, y le lanzara un dardo, la probabilidad de que golpeara un número algebraico es 0, y 1 que golpearía un número trascendental.

Todos los números que haya visto (excepto algunos especiales como pi y e) son solo polvo y constituyen una porción infinitesimal de los números reales.

Dos categorías en la parte superior de mi mente son los números algebraicos (irracionales) y los números trascendentales.
Los números algebraicos incluyen irracionales como [math] \ sqrt {2}, \ phi [/ math] y el trascendental de las celebridades habituales [math] \ pi, e [/ math].
En esta división, los números algebraicos son contables, por lo que la parte incontable de los irracionales habita dentro de los trascendentales.