Las 2 distinciones principales para los números reales son:
Racional vs Irracional
y
Algebraico vs Trascendental
La primera distinción es muy clara:
Un número real r es racional si existe [math] p \ in \ mathbb {Z} [/ math] y [math] q \ in \ mathbb {N} ^ {*} [/ math] como [math] r = \ frac {p} {q} [/ math]. Si no es así, es un número irracional.
El hecho de que la extensión decimal de un número racional siempre termine después de un número finito de dígitos o comience a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez, puede ayudarnos a determinar si un número real es racional o no.
Esta propiedad generalmente facilita la determinación de la naturaleza de un número real.
Tenga en cuenta que algunos números famosos como la constante de Euler-Mascheroni o los valores de la función zeta de Riemann en algunos enteros impares no han demostrado ser irracionales (¡incluso si se sospecha que lo son!).
La segunda distinción es un poco más compleja y ha sido el origen de muchos problemas abiertos en la teoría de números.
Un número real x es algebraico si es la raíz de un polinomio distinto de cero en una variable con coeficientes racionales. Si no, entonces el número se llama “trascendental”.
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Por ejemplo, [math] \ sqrt {2} [/ math] (que es irracional) también es algebraico.
De hecho, es una raíz de [matemáticas] P (X) = X ^ 2-2 [/ matemáticas].
¡Obviamente los números racionales también son algebraicos! Pero este no es el caso de los números irracionales que están separados en estas dos categorías.
Joseph Liouville fue el primer matemático en demostrar la existencia de un número trascendental “la constante de Liouville”:
[matemáticas] \ suma \ límites_ {k = 0} ^ {\ infty} 10 ^ {- k!} = 0.11000100000000000000000010000 [/ matemáticas] …
Pero probar que un número es trascendental puede ser muy difícil. Por ejemplo, tomó mucho tiempo demostrar que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas] son números trascendentales, y aún no sabemos si [matemáticas] \ pi + e [/ matemáticas] es algebraico o no …
Algunos hechos que debes saber:
- Los conjuntos de números racionales e irracionales son densos en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Esto implica que el conjunto de números algebraicos también es denso en [math] \ mathbb {R} [/ math].
- El conjunto de números racionales es contable (existe una función inyectiva f desde el conjunto a [math] \ mathbb {N} [/ math], ver Conjunto contable para algunos detalles).
- ¡El conjunto de números irracionales es incontable! Mientras que los números algebraicos forman un conjunto contable.
- El conjunto de números trascendentales es denso e incontable.
- Incluso si es generalmente (muy) difícil demostrar que un número aleatorio es trascendental y si conocemos principalmente números algebraicos, casi todos los números reales son trascendentales.