¿Cómo han decidido los matemáticos qué ramas de las matemáticas puras seguir?

Asumiré que está haciendo la pregunta filosófica más profunda sobre cómo los matemáticos en general deciden qué ramas de las matemáticas son más dignas de estudio, en lugar de cómo los matemáticos específicos deciden qué es lo mejor para ellos de las especialidades conocidas cuando comienzan investigación.

Los campos interesantes de las matemáticas fueron sembrados originalmente por problemas que surgen en el mundo cotidiano. Me refiero a cosas como contar y medir. Los matemáticos proporcionaron soluciones a estos problemas por razones prácticas. Esto condujo a álgebra real y geometría euclidiana. Incluso ahora a menudo les gusta expresar problemas en términos de situaciones reales, incluso cuando el problema surge de un pensamiento más abstracto.

Sin embargo, las matemáticas puras se apartaron gradualmente de sus raíces físicas y adquirieron vida propia. ¿Cómo pasó esto?

A algunos matemáticos les gusta plantear problemas y a otros les gusta resolverlos, pero hay un tercer tipo de matemático que analiza las soluciones y piensa en ellas de manera abstracta. Analizan la lógica utilizada para resolver el problema y preguntan cuáles son las estructuras abstractas generales a las que se pueden aplicar los mismos métodos. Esto crea técnicas matemáticas más generales que pueden aplicarse a otros problemas. Las abstracciones que se consideran útiles para resolver la mayoría de los problemas son las que se desarrollan en los campos de estudio que los matemáticos persiguen por derecho propio.

Ejemplos de tales áreas son la lógica, la topología de conjunto de puntos, la combinatoria, el cálculo, el análisis complejo y la teoría de grupos. Están a pocos pasos de problemas concretos reales de los que partimos, pero tienen un tipo de aplicabilidad universal que significa que son herramientas útiles. para resolver una amplia gama de problemas. Una vez que los matemáticos han identificado y definido las materias, pueden establecer nuevos problemas dentro de esos campos. A veces, estos problemas conducen a nuevas áreas de estudio en niveles aún más altos de abstracción, como la geometría algebraica y la teoría de categorías. Es un proceso largo y lento que lleva décadas antes de que prevalezca la mejor manera de ver un nuevo tema. Ciertamente aún no ha alcanzado su punto final y podemos esperar que surjan ramas más abstractas y de gran alcance en el futuro.

Vale la pena reflexionar si esta estructura en desarrollo de las matemáticas era inevitable. La expectativa ingenua que suelen tener las personas que no han estudiado matemáticas a un nivel avanzado es que se trata solo de un conjunto de fórmulas y métodos diseñados para resolver un tipo particular de problema práctico. En realidad, es sorprendente la medida en que se encuentran herramientas generales que tienen una aplicabilidad universal mucho más amplia a una gama muy diversa de situaciones aparentemente desconectadas. Es igualmente sorprendente que estas mismas herramientas resulten útiles en aplicaciones físicas y de la vida real de formas que no están relacionadas con su motivación original. Por ejemplo, geometría no euclidiana aplicada a la relatividad; matrices y números complejos aplicados a la mecánica cuántica; teoría de números pares aplicada a algoritmos de encriptación Es como si fuera el destino que los matemáticos hubieran descubierto estos mismos temas interesantes de estudio sin importar qué problemas se hubieran utilizado originalmente para comenzar el proceso.

Si estos campos más abstractos de las matemáticas que se aplican a problemas generales no esperaran ser descubiertos, entonces las matemáticas nunca habrían ido más allá del nivel de problemas básicos de geometría y álgebra. Es este misterio de la unidad de las matemáticas lo que lo convierte en un tema de estudio tan intrigante y valioso.

Normalmente, un programa de doctorado en matemáticas tiene exámenes preliminares y de calificación, por ejemplo, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley. Son la base para la investigación original que culmina con una disertación. El estudiante de doctorado aprende a elegir un tema bajo la guía de un asesor de tesis: aquí es donde un estudiante de doctorado aprende a elegir un tema y hacer una investigación original en la rama de matemáticas de su asesor. A menos que una disertación termine la investigación en el campo, el estudiante ahora colega continúa investigando hasta que encuentre problemas en otro campo. No es raro en una carrera abordar la investigación en muchas ramas de las Matemáticas, a veces creando una nueva.

En respuesta a su pregunta, son los problemas los que determinan qué rama persiguen los matemáticos,