¿Qué debe saber todo matemático sobre el espacio proyectivo real?

Answer 1

En la primera mitad del siglo XX se impartió un curso en muchas universidades llamado Geometría proyectiva. Aunque tal curso ya no se imparte (que yo sepa), la geometría proyectiva se usa en varias ramas de las matemáticas.

Además de ser importante para la geometría en general, la geometría proyectiva es esencial para la geometría algebraica y se usa en el estudio de curvas elípticas, por lo que ahora es importante para la teoría de números. Los espacios proyectivos son importantes para la topología y la topología algebraica también. Hay espacios proyectivos diferenciales que son espacios proyectivos finitos que tienen aplicaciones en análisis y matemáticas discretas. Hay, por supuesto, algunas ramas de las matemáticas que no usan espacios proyectivos.

Todos los matemáticos deben saber qué son los espacios proyectivos; sus axiomas; y cómo representarlos extendiendo el espacio euclidiano, por coordenadas homogéneas y por líneas a través del origen. Deben saber qué son las transformaciones proyectivas, que las secciones cónicas son todas proyectivamente equivalentes y las invariantes de las transformaciones proyectivas, incluidas las relaciones cruzadas.

Hay mucho más, pero esas cosas básicas deberían ser de conocimiento común.

Answer 2

Aquí hay algunos datos importantes sobre los espacios proyectivos reales [matemática] \ mathbb {RP} ^ n [/ matemática] de la topología algebraica, aproximadamente en orden descendente de lo importante que son para los matemáticos.

El grupo fundamental de [math] \ mathbb {RP} ^ n [/ math] es [math] \ mathbb {Z} _2 [/ math] (para [math] n \ ge 2 [/ math]); Estos son algunos de los primeros ejemplos de espacios con torsión en sus grupos fundamentales. La cubierta universal de [math] \ mathbb {RP} ^ n [/ math] es [math] S ^ n [/ math], y de hecho [math] \ mathbb {RP} ^ n [/ math] puede construirse por cociente [matemática] S ^ n [/ matemática] por antípoda.

Los espacios proyectivos reales se unen en un espacio proyectivo real infinito [math] \ mathbb {RP} ^ {\ infty} [/ math], que es uno de los primeros ejemplos de un espacio Eilenberg-MacLane. De hecho, es el espacio Eilenberg-MacLane [matemática] B \ mathbb {Z} _2 [/ matemática], por lo que representa la primera cohomología [matemática] H ^ 1 (-, \ mathbb {Z} _2) [/ matemática]; también es el espacio de clasificación [matemática] BO (1) [/ matemática] de paquetes de líneas reales.

El anillo de cohomología de [math] \ mathbb {RP} ^ n [/ math] sobre [math] \ mathbb {F} _2 [/ math] es [math] \ mathbb {F} _2 [w] / w ^ {n +1} [/ math] (y cuando [math] n = \ infty [/ math] es solo [math] \ mathbb {F} _2 [w] [/ math]); esto es paralelo a un cálculo estrechamente relacionado de la cohomología de los espacios proyectivos complejos sobre [math] \ mathbb {Z} [/ math], y estos son dos de los primeros ejemplos en la teoría de los anillos de la cohomología. La clase de cohomología [matemáticas] w [/ matemáticas] es la primera clase de Stiefel-Whitney del conjunto de líneas reales tautológicas.

La clase total de Stiefel-Whitney de [math] \ mathbb {RP} ^ n [/ math] es [math] (1 + w) ^ {n + 1} [/ math]. Este es uno de los primeros ejemplos en la teoría de clases características, y se puede usar para probar varios hechos agradables, que incluyen pero no se limitan a 1) que cada álgebra de división de dimensión finita sobre [math] \ mathbb {R} [/ matemática] tiene una dimensión de una potencia de [matemática] 2 [/ matemática] y 2) por cada valor de [matemática] n [/ matemática] existe un colector cerrado suave [matemática] n [/ matemática], que es un valor adecuado producto de espacios proyectivos reales, que no se sumerge en [math] \ mathbb {R} ^ {2n – \ alpha (n) – 1} [/ math], donde [math] \ alpha (n) [/ math] es el número de [math] 1 [/ math] s en la expansión binaria de [math] n [/ math]. ¡Este límite resulta ser apretado!

Answer 3

Supongo que todo matemático debe conocer la definición de Espacio proyectivo real, [math] RP ^ n [/ math], que en las dimensiones [math] n [/ math] es el espacio topológico de líneas rectas que pasan por el origen en [math] ] \ R ^ {n + 1} [/ matemáticas].

Más allá de eso, no todos los matemáticos necesitan saber algo más, aunque puede ser útil en las fiestas saber que [matemáticas] RP ^ 1 [/ matemáticas] es topológicamente equivalente a un círculo que es fácil de insertar en [matemáticas] \ R ^ 2 [/ math], pero [math] RP ^ 2 [/ math] no se puede incrustar en [math] \ R ^ 3 [/ math].