2009 es un número tan grande. Vamos a reemplazarlo por 5. Eso debería ser lo suficientemente grande como para tener una idea de lo que está sucediendo. ¿Qué significa la gráfica de
[matemáticas] f (x) = x (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) [/ matemáticas]
¿parece?
Ajá. Tiene una sola raíz en cada uno de los números 0, –1, –2,…, –5. El gráfico alternativamente baja y sube, baja y sube. Tiene un punto crítico entre estos enteros donde cambia de dirección. Ahí es donde la derivada [matemática] f ‘(x) [/ matemática] es 0. Los valores y de esos puntos son las c ‘ s en la pregunta. (Habrá 3 valores diferentes como puede ver en el gráfico).
La función tiene grado 6 y su derivada tiene grado 5. Hay 5 lugares donde [math] f ‘(x) [/ math] es 0, es decir, hemos encontrado sus 5 raíces, por lo que no hay más, y los 5 no son raíces dobles. Eso significa que [math] f (x) -c [/ math] nunca tiene una raíz triple.
Ahora viene la parte difícil. Sabemos que los valores de c en la pregunta son los valores de [math] f (x) [/ math] donde [math] f ‘(x) [/ math] es 0. ¿Podemos encontrar estos valores? No veo ninguna solución obvia, excepto donde [matemáticas] x = -2.5 [/ matemáticas] que proviene de la simetría de la gráfica. Para eso, [matemáticas] y = -45 / 32 [/ matemáticas].
No sé si hay una forma analítica de encontrar las coordenadas del resto de los puntos críticos. Puede ser necesario utilizar métodos numéricos para encontrarlos.
Al menos podemos escribir una buena expresión para la derivada. Usando la regla del producto y un poco de álgebra, encontramos
[matemáticas] f ‘(x) = f (x) \ sum_ {i = 0} ^ 5 \ frac {1} {xi} [/ matemáticas]
entonces los valores críticos de [math] f [/ math] son las soluciones de
[matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {x + 1} + \ frac {1} {x + 2} + \ cdots + \ frac {1} {x + 5} = 0 [/ matemáticas]
Puede ser útil traducir x por 2.5 para aprovechar la simetría de la función. Entonces podría eliminar la única solución conocida y luego emparejar el resto.