¿Qué sucede si podemos cambiar la base de las matemáticas?

Answer 1

La matemática no es un rompecabezas de Jenga que espera ser derribado por algún tirón en los peldaños inferiores. Sin embargo, puedo perdonarte por creer que, dado que las matemáticas pasan por crisis periódicas cuando las bases están amenazadas. Sin embargo, cuando el humo se despeja, la mayoría de las matemáticas se vuelven más rigurosas al atacar los cimientos.

Sin embargo, también traes una gran razón para las matemáticas constructivas. Usando matemáticas constructivas, incluso los cambios en los fundamentos pueden ser probados para no afectar las pruebas, ya que no puede haber una inconsistencia en decir que algo existe cuando puedes señalar un ejemplo.

Entonces, la respuesta real a su pregunta es que los fundamentos cambian todo el tiempo y están en un flujo inmenso en este momento (se están aplicando nuevas formas de lógica). Solo nos ha mostrado cuánto más quedan las matemáticas por descubrir. Sin embargo, no cambia ningún resultado que pueda derivarse de algo más básico.

Una analogía puede ser que las matemáticas están viendo lo mismo que la física vio hace décadas, descubriendo que los átomos tenían componentes, que esos componentes tenían componentes (quarks, etc.). Sin embargo, no rompió nuestra comprensión de las moléculas y los átomos, los mejoró.

Del mismo modo, los fundamentos de las matemáticas son componentes aún más fundamentales de las matemáticas que ya tenemos.

Answer 2

Depende de lo que se entienda por fundamento y de lo que se entienda por cambio. En la Geometría de Euclides, los axiomas se ven como la base, y los axiomas se han cambiado varias veces. El único cambio en la geometría real es que la geometría no euclidiana ahora se considera igualmente válida que la euclidiana. Dado que cada sistema permite incrustar un modelo del otro dentro de él, cualquier falla de uno se propaga a una falla en el otro.

En algún momento, se hizo evidente que los axiomas de Euclides estaban incompletos. Se necesitaban muchos axiomas relacionados con la intermediación para hacer un conjunto completo. Aparte de algunos lógicos matemáticos, los matemáticos en su mayoría no se dieron cuenta, excepto que los nuevos axiomas descartaron una prueba falaz (dependiendo de un diagrama incorrecto) de que todos los triángulos son isoceles.

Algunos cambios que uno podría hacer derribarían toda la estructura, resultando en una contradicción o en un sistema numérico con solo un elemento. Estos otros sistemas axiomáticos Goedel serían ignorados como 6 poco interesantes. Por lo que podemos decir, los conjuntos de axiomas de status quo no tienen este problema, a pesar de que los resultados de Goedel o de Turing nos dicen que en realidad no podemos PROBAR que estos sistemas sean consistentes.