¿Cómo demuestro que si [math] f: A \ to C [/ math] es un mapeo, entonces hay un mapeo sobre [math] g: A \ to B [/ math] y un mapeo uno a uno [ matemática] h: B \ a C [/ matemática] tal que [matemática] f = h \ circ g [/ matemática]?

Answer 1

Deje que [math] f: A \ to C [/ math] sea una función. Defina un conjunto [matemática] B [/ matemática] como [matemática] B: = \ {f (a): a \ en A \} [/ matemática]. Defina una función [matemática] g: A \ a B [/ matemática] por [matemática] g (x): = f (x) [/ matemática] para todos [matemática] x \ en A [/ matemática]. Además, defina otra función [matemática] h: B \ to C [/ matemática] por [matemática] h (x): = x [/ matemática] para todos [matemática] x \ en B [/ matemática]. Ahora mostramos que [math] g [/ math] está en y [math] h [/ math] es uno a uno.

• Para mostrar que [math] g: A \ to B [/ math] está en, necesitamos mostrar que por cada [math] y \ en B [/ math], hay algo de [math] x \ en A [/ matemática] tal que [matemática] g (x) = y [/ matemática]. Entonces, dejemos [math] y \ en B [/ math]. Como [matemáticas] B = \ {f (a): a \ en A \} [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ en B [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas ] para algunas [matemáticas] x \ en A [/ matemáticas]. Pero tenemos [matemáticas] g (x) = f (x) [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] y = g (x) [/ matemáticas]. Por lo tanto, hay [matemática] x \ en A [/ matemática] tal que [matemática] g (x) = y [/ matemática]. Por lo tanto [math] g [/ math] está en.
• Para mostrar que [math] h: B \ to C [/ math] es one-one, necesitamos mostrar que para todas [math] x_1 \ neq x_2 \ en B [/ math], tenemos [math] h ( x_1) \ neq h (x_2) [/ math]. Deje [math] x_1 \ neq x_2 \ en B [/ math]. Como [math] h (x) = x [/ math] por cada [math] x \ en B [/ math], tenemos [math] h (x_1) = x_1 \ neq x_2 = h (x_2) [/ math ] Por lo tanto, [math] h [/ math] es uno a uno.

Finalmente, mostramos que [math] f = h \ circ g [/ math]. Necesitamos demostrar que por cada [matemática] x \ en A [/ matemática], tenemos [matemática] f (x) = h \ circ g (x) [/ matemática]. Deje [math] x \ en A [/ math]. Tenemos [matemáticas] h \ circ g (x) = h (g (x)) [/ matemáticas]. Pero tenemos [matemáticas] g (x) = f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] h (f (x)) = f (x) [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] h \ circ g (x) = f (x) [/ matemáticas]. Esto muestra que [math] f = h \ circ g [/ math].

[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]