Cuando un valor se escribe explícitamente en forma de potencia, aparece como [math] b ^ x [/ math], donde b se llama base, x se llama exponente (o índice u orden en algunas partes del inglés). -hablante mundo), y toda la expresión es el poder.
Cuando x es un número entero positivo, el significado de [matemáticas] b ^ x [/ matemáticas] es multiplicar x copias de b como factores. Por lo tanto, b ³ = b · b · b . Eso significa que hay multiplicaciones x – 1, lo que confunde a muchas personas porque a menudo hablarán de multiplicar b por sí mismo x veces, cuando, de hecho, solo es x – 1 veces; la x se refiere al número de ocurrencias de b .
Cuando x es un entero negativo, [matemática] b ^ x = 1 / b ^ {- x} [/ matemática]. Cuando x = 0, b ⁰ = 1, independientemente del valor de b (y, sí, evité deliberadamente referirme a b = 0 como un caso de excepción, porque, en este contexto, se requiere necesariamente que 0⁰ sea considerado como 1 , basado en la regla del producto vacío, junto con una gran cantidad de ejemplos prácticos).
Cuando x es racional pero no un número entero, se puede expresar como x = p / q , y se considera que el valor de [math] b ^ x [/ math] es la raíz número q de [math] b ^ p [/matemáticas].
- ¿Vale la pena centrarse en resolver integrales (trig / sustitución) en lugar de sus significados reales?
- ¿Alguien puede completar los conceptos básicos de matemáticas de clase 12 y 11 en 4 meses? Si estudio 3-5 horas diarias?
- ¿Enseñar ciertos conceptos matemáticos (por ejemplo, el orden de las operaciones) como si fueran “leyes de las matemáticas” inmutables (cuando no lo son) en detrimento de la comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes?
- ¿Cómo puedo evitar que mis conocimientos de matemática de 2010-2014 se vuelvan obsoletos?
- ¿Qué te gusta de las matemáticas?
Cuando x es irracional, [math] b ^ x [/ math] se considera el límite de [math] b ^ r [/ math] para una secuencia de valores racionales r que se aproximan a x como límite.
Sin embargo, esto no se permite que sea de forma totalmente libre. Hay restricciones
- Si b = 0, entonces x está prohibido ser un número negativo.
- Si b <0, entonces x generalmente está prohibido ser un valor no entero. Muchos (pero no todos) los matemáticos hacen una excepción especial para la x racional expresada como la razón de un entero dividido por un entero impar, de modo que [matemática] (- 8) ^ {1/3} = -2 [/ matemática].
La discusión anterior ha asumido un contexto de números reales tanto para la base como para el exponente. El cumplimiento de las restricciones anteriores produce un número real para la base. Es fácil extender la base a números complejos. No hay absolutamente ningún problema con respecto a la aplicación de un exponente entero a una base compleja, siempre que no tengamos simultáneamente una base de 0 y un exponente negativo. Para una base compleja, el exponente puede extenderse a todos los números reales e incluso a números complejos, pero uno debe tener cuidado al interpretar la operación y el resultado, porque la evaluación de potencias se vuelve multivalorizada en el mundo de los números complejos.
La discusión anterior ha pasado por alto un malentendido bastante común entre las personas. Algunas personas piensan que en la expresión [matemáticas] b ^ x [/ matemáticas], solo x , en lugar del valor de la expresión completa, es el poder. Eso es incorrecto. Como un simple ejemplo, nos referimos a la secuencia:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
como los poderes de 2. Los términos son [matemática] 2 ^ 0 [/ matemática], [matemática] 2 ^ 1 [/ matemática], [matemática] 2 ^ 2 [/ matemática], [matemática] 2 ^ 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ 4 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ 5 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ 6 [/ matemáticas],…. (Nota: muchas personas comienzan la secuencia con [matemática] 2 ^ 0 = 1 [/ matemática] como aquí; algunas otras comienzan en [matemática] 2 ^ 1 = 2 [/ matemática], no es gran cosa de ninguna manera). Tenga en cuenta que [matemática] 2 ^ 5 = 32 [/ matemática] está en la secuencia, considerada como una potencia de 2; si 5 es la potencia, entonces 5 debería estar en la secuencia, pero no lo es: las potencias son la expresión completa, no solo el exponente. La confusión parece venir de leer [matemáticas] 2 ^ 5 [/ matemáticas] como “dos a la quinta potencia” (que es una lectura muy común, pero no la única), y la gente se siente tentada a pensar que la sola palabra el quinto poder inmediatamente anterior es el descriptor adjetivo del poder y, por lo tanto, es el valor del poder; de hecho, el descriptor de adjetivo aplicado al poder es la frase completa dos a la quinta, por lo que toda la expresión [matemáticas] 2 ^ 5 [/ matemáticas] es el poder. Esto es más claro cuando se usa la lectura de que [matemática] 2 ^ 5 [/ matemática] es “la quinta potencia de 2” —si, [matemática] 2 ^ 5 [/ matemática] es una potencia, más específicamente una potencia de 2— cual poder? el quinto poder de 2. En la práctica, la mayoría de la gente no lee [matemática] 2 ^ 5 [/ matemática] de esa manera porque intercambia el orden de izquierda a derecha del 2 y el 5, algo que la mayoría de la gente prefiere no intercambiar. .