Alrededor de finales del siglo XIX y principios del siglo XX, la comunidad matemática estaba en una especie de crisis, en busca de una base suficientemente formal / rigurosa para construir las matemáticas.
Este deseo surgió en gran medida del miedo a la paradoja / contradicción que los matemáticos habían observado, la más famosa de las cuales es probablemente la paradoja de Russell.
Desafortunadamente, si bien elaborar una teoría formal que no tenga contradicciones (es decir, es “consistente”) es fácil, elaborar una teoría que sea consistente y realmente útil es un poco más complicado.
TLDR: la axiomización de las matemáticas más utilizada se llama “ZFC”. “Z” y “F” representan Zermelo y Fraenkel. Zermelo propuso los axiomas originalmente, y Fraenkel (y Skolem) hicieron una modificación. “C” representa el axioma extra: el “axioma de elección (incontable)”.
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Un ejemplo de un sistema sin paradojas:
Podría hacer un sistema formal que solo contenga la letra “A” (es decir, todos los teoremas se parecen a “A”, “AA”, “AAA”, …) y tomar, como mis axiomas y reglas de producción:
- “” Es un teorema
- Puede hacer un nuevo teorema agregando un “AA” al final de un viejo teorema
Esto nos permite probar una serie de teoremas (por ejemplo, “AA”, “AAAA”, “AAAAAA”) pero no otros (por ejemplo, “AAA” no se puede probar ni refutar en este sistema). Este sistema es consistente , no hay paradojas. Sin embargo, no puede probar o refutar todos los teoremas que se pueden expresar con este lenguaje (por ejemplo, “AAA”). Tales teoremas son independientes de mis axiomas y esto hace que mi sistema sea incompleto .
Finalmente, si bien está bien que pueda jugar con los teoremas de prueba de este sistema, estos teoremas no son particularmente interesantes para nadie. No puedo escribir un artículo que diga “Hola chicos, acabo de demostrar ‘AAAA’ en este sistema completamente arbitrario que inventé” y espero que la gente preste atención.
Recordar:
- Queremos un sistema que sea consistente (sin paradojas / contradicciones)
- Queremos un sistema que esté completo (cada teorema expresable puede ser probado)
- Queremos un sistema que nos permita expresar cosas significativas / útiles. Específicamente, los matemáticos querían hablar sobre los enteros (como mínimo) y preferiblemente sobre una gama más amplia de cosas.
Este era el desafío que enfrentaban los matemáticos, y muchas personas brillantes pasaron años buscando un sistema apropiado.
Afortunadamente, ya se realizó algún trabajo en esta área. Los axiomas de Peano se desarrollaron entre 1860 y 1890 como una forma de definir formalmente los números naturales. Desafortunadamente, había algunos teoremas matemáticos interesantes que simplemente no era posible probar usando los Axiomas de Peano (es decir, no estaban lo suficientemente completos), por lo que los matemáticos se apresuraron a encontrar un sistema más fuerte.
Finalmente, después de décadas de búsqueda infructuosa, Gödel publicó uno de los teoremas más profundos de las matemáticas: el Teorema de incompletitud de Gödel.
El teorema generalmente se establece como “Ningún sistema formal suficientemente complejo puede ser consistente y completo”, pero se puede reformular como
“Ningún sistema formal que pueda hablar sobre los enteros puede ser consistente y completo”
La importancia de este teorema no puede ser exagerada. Si los matemáticos quisieran deshacerse de las contradicciones que estaban alzando sus cabezas, tendrían que renunciar a hablar de los enteros (¡gran oportunidad! Los enteros son quizás la forma más útil que los humanos tienen para representar el mundo real, y no había la forma en que los matemáticos iban a perder eso) o vivir con el hecho de que, sin importar qué sistema terminaron adoptando, habría algunos teoremas que nunca podrían probar.
Décadas antes de Gödel, un matemático alemán llamado Ernst Zermelo propuso una axiomización de las matemáticas. Fraenkel señaló una falla y propuso (con Skolem) una modificación.
También se agregó un axioma adicional, el “Axioma de elección (incontable)”. Sigue siendo el más controvertido, pero es ampliamente aceptado por los matemáticos (aunque quedan pequeños focos o resistencias, especialmente los constructivistas).
Los matemáticos se han aferrado a ZFC (Zermelo-Fraenkel, Choice) porque
- parece consistente
- permite hablar sobre los enteros
- está bastante completo (la mayoría de los teoremas que queremos probar, podemos probar)
Vale la pena señalar que excepcionalmente pocos matemáticos se molestan con los axiomas y las reglas de producción originales. Es simplemente demasiado tedioso. Pero si realmente quieres, deberías (al menos en principio) ser capaz de probar cualquier teorema (probado en las matemáticas convencionales) a partir de los axiomas.
Terminaré diciendo que varios matemáticos han ideado axiomas alternativos que son demostrablemente equivalentes a los publicados por Zermelo y Fraenkel. Los axiomas no tienen nada de especial, solo un acuerdo generalizado de que el sistema formal que resulta de ellos es (probablemente) consistente y extremadamente útil.