¿Tener un sistema de ecuaciones con n ecuaciones independientes y n incógnitas garantiza una solución única para cada variable (o ninguna)?

Answer 1

Considera que estás trabajando con la ecuación

[matemáticas] Ax = b [/ matemáticas]

donde [math] A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} [/ math], [math] b \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] y [math] x [/ math] es un vector de incógnitas que estás buscando.

En su pregunta, nos ha dicho que

1. [matemática] rango (A) = n [/ matemática] es decir, el sistema de ecuaciones es linealmente independiente
2. hay [matemáticas] n [/ matemáticas] variables desconocidas en el vector [matemáticas] x [/ matemáticas]

Pero para conocer la respuesta definitiva a su pregunta, necesitamos saber de qué está hecho el vector [math] b [/ math]. Hay dos situaciones a considerar:

• El vector [math] b [/ math] se encuentra en el espacio de la columna de [math] A [/ math]. En otras palabras, uno puede escribir cada elemento de [math] b [/ math] como una combinación lineal de las filas correspondientes de [math] A [/ math]. es decir:

[matemáticas] a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ ldots + a_ {1n} x_n = b_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {n1} x_1 + a_ {n2} x_2 + \ ldots + a_ {nn} x_n = b_n [/ matemáticas]

cuando esto es cierto, entonces existe una solución única para [math] x. [/ math]

• El vector [math] b [/ math] no pertenece al espacio de columna de [math] A [/ math]. Entonces uno debe darse cuenta de que hay un número infinito de soluciones, pero que solo una será la solución de “norma mínima”, es decir, la proyección ortogonal de [matemáticas] b [/ matemáticas] en el espacio de la columna de [matemáticas] A [/ matemáticas]. La formulación es

[matemática] \ min_x [/ matemática] [matemática] | b-Axe | _2 ^ 2 [/ matemática]

y se puede demostrar que los minimizadores están dados por

[matemáticas] x ^ * = (A ^ TA) ^ {- 1} A ^ T b [/ matemáticas]

que es un producto de la matriz de proyección de [matemáticas] A [/ matemáticas] con [matemáticas] b. [/ matemáticas]

Answer 2

Mas o menos. Tener ecuaciones [matemáticas] n [/ matemáticas] con incógnitas [matemáticas] n [/ matemáticas] es equivalente a decir que tiene un conjunto de funciones [matemáticas] n [/ matemáticas] tales que

[matemáticas] f_i (x_1, x_2, …, x_n) = 0, i = 1 … n [/ matemáticas]

Si imagina un espacio [math] n [/ math] -dimensional donde cada variable se representa en un eje, cada función [math] f_i [/ ​​math] define una hiperesuperficie [math] n-1 [/ math] dimensional, en cual [matemática] f_i = 0 [/ matemática].

Si exigimos que todas sean verdaderas, entonces lo que estamos buscando es el punto en el que todas las [matemáticas] n [/ matemáticas] de esas hiperesuperficies se cruzan. Por supuesto, podrían ser completamente disjuntos, en cuyo caso no hay intersección (no hay solución). Podría haber un único punto de intersección (solución única). ¿Podría haber varias soluciones?

Si, ciertamente. Tome n = 1 y la ecuación

[matemáticas] \ sin (x) = 0 [/ matemáticas]

Hay un número infinito de soluciones para esta ecuación. Pero tenga en cuenta que las soluciones están dispersas: no hay una vecindad continua de soluciones. ¿Qué tomaría eso?

Para tener una vecindad continua de soluciones, debe tener al menos una hiperesuperficie que, en una pequeña región de espacio [matemático] n [/ matemático], sea exactamente igual a alguna combinación de las otras superficies. Sin embargo, eso es * exactamente * lo que descartamos cuando exigimos que las ecuaciones sean independientes.

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Para resumir: si tiene [math] n [/ math] i ecuaciones independientes (suponiendo que se comporten bien, y las funciones [math] f_i [/ ​​math] mencionadas anteriormente son diferenciables y todo eso) y [math ] n [/ math] incógnitas, podría no tener soluciones, una solución única o infinitas soluciones, dependiendo de las propiedades algebraicas de las ecuaciones mismas. Sin embargo, si tiene múltiples soluciones, no formarán un vecindario continuo.

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Editar: Acabo de leer el comentario del OP. Si las ecuaciones son lineales, se aplica el mismo argumento, pero tenemos la hermosa simplificación de que todas esas hipersuperficies son hiperplanos. En ese caso, la respuesta a su pregunta es sí: no puede tener una solución o una sola solución, pero no múltiples soluciones.

Answer 3

Considere el siguiente sistema:

[matemáticas] \ begin {matrix} a_ {11} x_1 && + && a_ {12} x_2 && + && \ cdots && + && a_ {1n} x_n && = && b_1 \\ a_ {21} x_1 && + && a_ { 22} x_2 && + && \ cdots && + && a_ {2n} x_n && = && b_2 \\ \ vdots && + && \ vdots && + && \ ddots && + && \ vdots && = && \ vdots \\ a_ {n1} x_1 && + && a_ {n2} x_2 && + && \ cdots && + && a_ {nn} x_n && = && b_n \ end {matrix} [/ math]

La matriz de coeficientes es:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} a_ {11} && a_ {12} && \ cdots && a_ {1n} \\ a_ {21} && a_ {22} && \ cdots && a_ {2n} \\\ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ a_ {n1} && a_ {n2} && \ cdots && a_ {nn} \ end {pmatrix} [/ math]

Si el rango de este sistema es [math] n [/ math], entonces eso significa que los vectores de columna de la matriz de coeficientes forman un sistema de vectores máximo linealmente independiente en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] . Por lo tanto, [math] (b_1, b_2, \ dots, b_n) ^ T [/ math] siempre se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes de una manera única . Los multiplicadores de los vectores comunes en dicha combinación lineal proporcionan la solución única para [math] (x_1, x_2, \ dots, x_n) [/ math].

Si, por otro lado, las ecuaciones en el sistema son independientes, pero el rango de la matriz de coeficientes es menor que [math] n [/ math], considere la siguiente matriz auxiliar:

[matemáticas] \ begin {pmatrix} a_ {11} && a_ {12} && \ cdots && a_ {1n} && b_1 \\ a_ {21} && a_ {22} && \ cdots && a_ {2n} && b_2 \\\ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots && \ vdots \\ a_ {n1} && a_ {n2} && \ cdots && a_ {nn} && b_n \ end {pmatrix} [/ math]

El rango de esta matriz debe ser [math] n [/ math], ya que todas sus filas son linealmente independientes. Si [math] (b_1, b_2, \ dots, b_n) ^ T [/ math] fuera expresable como una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes, entonces el rango de la matriz auxiliar habría sido el mismo que la matriz de coeficientes . Esto prueba que el sistema de ecuaciones no tiene solución si las ecuaciones son independientes y el rango de la matriz de coeficientes es menor que [matemática] n [/ matemática].

Answer 4

Eso es correcto. Si las ecuaciones no son independientes, esto no se aplica. El caso en el que no hay solución es similar a la dependencia: surge cuando una ecuación está a una constante de una ecuación que se puede encontrar combinando las otras, como x = y y 2x = 2y + 1

Answer 5

Solo si ninguna ecuación que tienes es una combinación de otras ecuaciones Y si ninguna ecuación se contradice

Answer 6

Para n variables desconocidas, necesita al menos n ecuaciones linealmente independientes para encontrar una solución. Para tener una solución única, su ecuación debe ser homogénea.