Daré dos puntos de vista.
Concretamente en álgebra matricial, si [math] A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times m} [/ math] y [math] B \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times p} [/ math ] son matrices, la multiplicación de matrices se define de tal manera que
[matemáticas] (AB) _ {ij} = \ sum_ {k = 1} ^ m A_ {ik} B_ {kj} [/ matemáticas]
Es decir, el elemento [math] (i, j) [/ math] de [math] AB [/ math] es igual al producto interno de la fila [math] i [/ math] de [math] A [/ math ] y la columna [matemáticas] j [/ matemáticas] de [matemáticas] B [/ matemáticas]. La dimensión interna ([matemática] m [/ matemática]) debe coincidir para que se defina esta suma.
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De manera más abstracta, se puede considerar la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas] (resp. [Matemáticas] B [/ matemáticas]) como un mapa lineal desde una [matemática] m [/ matemática] -dimensional a una [matemática] n [/ math] -dimensional vector space (resp. de [math] p [/ math] -dimensional a [math] m [/ math] -dimensional). Entonces el producto matricial [math] AB [/ math] representa la composición de estos mapas lineales, y la “dimensión interna” es importante porque la salida de [math] B [/ math] debe coincidir con la dimensionalidad de la entrada a [math] A [/ matemáticas].