¿Cuál es la diferencia entre [math] \ mathbb R ^ m \ times \ mathbb R ^ n [/ math] y [math] \ mathbb R ^ {n \ times m} [/ math]?

Answer 1

Los elementos de [math] \ R ^ m \ times \ R ^ n [/ math] son ​​listas de números reales de la forma

[matemáticas] ((x_1, \ ldots, x_m), (y_1, \ ldots, y_n)) [/ math],

mientras que los elementos de [math] \ R ^ {n \ times m} [/ math] son ​​listas de números reales de la forma

[matemáticas] (z_1, \ ldots, z_ {nm}) [/ matemáticas].

Entonces, el número de entradas en las listas es totalmente diferente.

Por otro lado, los elementos de [math] \ R ^ {n + m} [/ math] son ​​listas de números reales de la forma

[matemáticas] (z_1, \ ldots, z_ {n + m}) [/ matemáticas].

Aquí el número de números reales en la lista es el mismo que el de las listas que representan elementos de [math] \ R ^ m \ times \ R ^ n [/ math]. Sin embargo, tenga en cuenta que las listas están entre paréntesis de manera diferente en el último caso. Entonces, [matemática] \ R ^ m \ veces \ R ^ n [/ matemática] y [matemática] \ R ^ {m + n} [/ matemática] son ​​”casi” la misma cosa, ya que es fácil pensar en un elemento del primer conjunto como correspondiente a un elemento del segundo conjunto eliminando los paréntesis adicionales. Pero no son exactamente lo mismo, ya que los elementos en los dos conjuntos son legítimamente diferentes y distinguibles entre sí. Esto se formaliza en matemáticas diciendo que la función

[matemáticas] f: \ R ^ n \ veces \ R ^ m \ to \ R ^ {n + m} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ((x_1, \ ldots, x_n), (y_1, \ ldots, y_m)) = (x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_m) [/ math]

Es un isomorfismo . Básicamente, ambos conjuntos son exactamente iguales, excepto que escribimos los elementos de forma un poco diferente.

Answer 2

La respuesta simple es que [math] \ mathbb {R} ^ m \ times \ mathbb {R} ^ m \ cong \ mathbb {R} ^ {m + m} [/ math] [math] \ ncong [/ math] [math] \ mathbb {R} ^ {nm} \ cong \ mathbb {R} ^ {m \ times n} [/ math]. Para ver esto, observe que los miembros de [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math] tienen la forma [math] (x_1, \ ldots, x_m) [/ math] y los miembros de [math] \ mathbb {R } ^ n [/ math] tiene la forma [math] (y_1, \ ldots, y_n) [/ math]. Por lo tanto, el isomorfismo es

[math] \ mathbb {R} ^ m \ times \ mathbb {R} ^ n \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m + n} [/ math]

[matemáticas] \ big ((x_1, \ ldots, x_m), (y_1, \ ldots, y_n) \ big) \ mapsto (x_1, \ ldots, x_m, y_1, \ ldots, y_n) [/ math]

Por otro lado, los elementos de [math] \ mathbb {R} ^ {m \ times n} [/ math] tienen la forma [math] [/ math]

[matemáticas] (z_1, \ ldots, z_ {m \ times n}) = (z_1, \ ldots, z_ {mn}) [/ math]

que generalmente es un espacio mucho más grande que [math] \ mathbb {R} ^ m \ times \ mathbb {R} ^ n. [/ math]

Answer 3

El producto de R ^ m × R ^ n es R ^ (m + n). Una de las reglas básicas de los índices es que al multiplicar dos índices del mismo valor base, entonces el producto es la base de la potencia de la suma de las potencias individuales de antemano.

Por el contrario, R ^ (nxm) es igual a (R ^ n) ^ m.

Usando los números binarios, que R sea 2. Sea m 3. Sea n. 4.

2 ^ 3 x 2 ^ 4 = 2 ^ (3 + 4) = 2 ^ 7

Mientras que 2 ^ (3 x 4) = 2 ^ 12

La diferencia entre sus dos funciones depende del valor R y de los valores myn.

Answer 4

[math] \ mathbb {R} ^ m \ times \ mathbb {R} ^ n [/ math] es el producto cartesiano del conjunto de todos los vectores de valor real con dimensión m con el conjunto de todos los vectores de valor real con dimensión n . Los puntos en este conjunto son pares de vectores, uno con dimensión my el otro con dimensión n .

[math] \ mathbb {R} ^ {n \ times m} [/ math] es el conjunto de todas las matrices [math] n \ times m [/ math] con elementos de valor real. Los puntos en este conjunto son matrices con m columnas, cada una con n filas.

Answer 5

Hay una gran diferencia b / t R ^ m × R ^ n Y R ^ (m × n)

Porque

R ^ m × R ^ n = R ^ (m + n).

Y el valor de (m + n)! = (M × n).

(Donde! = Significa no igual a)

Entonces R ^ (m + n) = R ^ m × R ^ n! = R ^ (m × n).

Gracias 🙂

Answer 6

No creo que esté siendo pedante aquí cuando le pregunto la “categoría” en la que está trabajando. Los Reales y sus poderes tienen muchos tipos diferentes de estructura: topológica (espacios de producto), algebraica (vista, por ejemplo, como espacios vectoriales ), Puramente como conjuntos (que dan lugar a n-ples de elementos), etc. para responder su pregunta de manera efectiva

Answer 7

R ^ m * R ^ n = R ^ m + n

R ^ n * m

Supongamos que si suponemos que m = 2 & n = 3 Entonces

R ^ m * R ^ n = R ^ m + n = R ^ 2 + 3 = R ^ 5

así R ^ n * m = R ^ 3 * 2 = R ^ 6

Substitute R = 2 entonces

2 ^ 5 = 32

2 ^ 6 = 64

Espero que esto explique la diferencia entre las dos expresiones.

Answer 8

El primero tiene dimensión m + n y el segundo tiene dimensión mn .