Cambie los componentes del tensor métrico, nunca la longitud (o en general el módulo) de cualquier cambio de cantidad vectorial. En un espacio no isotrópico y homogéneo, un vector libre cuando se traduce puede cambiar dependiendo de la geodésica que use para traducir, pero nunca del módulo. Otra cosa es que el módulo del vector, por cambios en el tensor métrico, la fórmula no es la fórmula típica (1):
Y la generalización trivial para un espacio de n dimensiones
Puedes ver el post de micromass aquí:
- ¿Puede la magnitud de un vector tener un valor negativo?
- ¿Tener un sistema de ecuaciones con n ecuaciones independientes y n incógnitas garantiza una solución única para cada variable (o ninguna)?
- Cómo demostrar que los vectores u y v son paralelos si y solo si u = CV para algún escalar c
- ¿Cuál es el significado del subespacio en álgebra lineal?
- Cómo demostrar que el vector A + vector B = vector B + vector A
Producto de puntos en un sistema de base no ortogonal
Cuando realiza un cambio de coordenadas, los componentes métricos del tensor tienen que cambiar y la fórmula (1) cambia su forma
Por supuesto, en un espacio euclídeo, se puede trabajar en una base no ortonormal, pero es una complicación innecesaria. Pero hay espacios que no son ni homogéneos ni isotrópicos ni uno de ellos, en este caso, el tensor métrico es necesario y cambia en cada punto del espacio, y sus componentes cambian (como en el espacio euclidiano si cambia de un sistema de coordenadas ortogonales). a otro no ortogonal, esa es tu pregunta)