¿Cómo mostrarías que un determinante puede ser cero si y solo si sus filas son linealmente dependientes?

Answer 1

Suponga que las filas de una matriz [math] n \ times n [/ math] [math] A [/ math] están dadas por [math] \ vec {r_1}, \ dots, \ vec {r_n} [/ math].

Primero queremos mostrar que si las filas son linealmente dependientes, entonces el determinante de [math] A [/ math] es [math] 0 [/ math]. Suponga que las filas son linealmente dependientes. Entonces existen escalares, [matemáticas] c_1, \ puntos, c_n [/ matemáticas], no todos cero, de modo que [matemáticas] c_1 \ vec {r_1} + \ cdots + c_n \ vec {r_n} = \ vec {0} [/matemáticas]. Tome [math] c_k [/ math] como un peso distinto de cero, para [math] k \ in [1, n] [/ math]. Entonces [math] \ vec {r_k} [/ math] es una combinación lineal de los otros vectores. Se deduce que podemos hacer una secuencia de operaciones de fila para obtener una fila [matemática] 0 [/ matemática] en la fila [matemática] k [/ matemática] (agregar múltiplos de una fila a otra no cambia el determinante). Por lo tanto, hacer una expansión de cofactor a lo largo de la fila [math] k [/ math] en la matriz equivalente de fila apropiada nos dejará con un determinante de [math] 0 [/ math].

A continuación, queremos mostrar que si el determinante es cero, entonces las filas son linealmente dependientes. Eso es equivalente a mostrar que si las filas son linealmente independientes, entonces el determinante no es cero (Prueba por contrapositivo). Suponga que las filas de [math] A [/ math] son ​​linealmente independientes y que [math] U [/ math] es una forma escalonada de [math] A [/ math]. Entonces el determinante de [math] A [/ math] es un múltiplo escalar del producto de las entradas diagonales en U. Ninguna de estas entradas puede ser cero, porque de lo contrario una de las filas podría reducirse a una fila de ceros y por un argumento similar de antes, que implicaría una relación de dependencia lineal en las filas. Por lo tanto, [math] \ det (A) \ neq 0 [/ math].

Un argumento más corto sería notar que [math] A [/ math] es invertable si y solo si [math] \ det (A) \ neq 0 [/ math] si y solo si [math] \ det (A ^ T ) \ neq 0 [/ math] si y solo si las columnas de [math] A [/ math] son ​​linealmente independientes si y solo si las columnas de [math] A ^ T [/ math] son ​​linealmente independientes. Lo que funciona porque las columnas de [matemáticas] A ^ T [/ matemáticas] son ​​las filas de [matemáticas] A [/ matemáticas].

Answer 2

Esto NO es una prueba, pero espero que te ayude a entender bien el concepto.

Un determinante [math] 2 \ times 2 [/ math] básicamente representa el área de un paralelogramo formado por 2 vectores, [math] \ vec a = a_1 \ hat i + a_2 \ hat j [/ math] y [math] \ vec b = b_1 \ hat i + b_2 \ hat j [/ math]

El área es [math] \ begin {vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \ end {vmatrix} [/ math]

Ahora, si los vectores son linealmente dependientes, se ubicarán en la misma línea, lo que hace que el área del paralelogramo sea cero.

De manera similar, un determinante [matemático] 3 \ veces 3 [/ matemático] representa el volumen de un parellelopiped, cuyos lados adyacentes son [matemático] \ vec a = a_1 \ hat i + a_2 \ hat j + a_3 \ hat k [/ matemático] , [matemáticas] \ vec b = b_1 \ hat i + b_2 \ hat j + b_3 \ hat k [/ math] y [math] \ vec c = c_1 \ hat i + c_2 \ hat j + c_3 \ hat k [/ matemáticas]

El volumen es [matemática] \ begin {vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \ end {vmatrix} [/ math]

Ahora, si los vectores son linealmente dependientes, se ubicarán en el plano, lo que hace que el paralelepípedo sea una figura 2D. Por lo tanto, su volumen será cero y, por lo tanto, el determinante.

NOTA: Si desea utilizar las propiedades de los determinantes, tenga esto en cuenta: para 2 vectores [matemática] \ vec A, \ vec B, [/ matemática] [matemática] \ vec A + t \ vec B [/ matemática] siempre es coplanares con [math] \ vec A, \ vec B. [/ math] Entonces, efectivamente, estás verificando la dependencia lineal de los vectores.