Desea una base ortonormal donde su forma bilineal sea diagonal.
Primero busquemos la matriz asociada a la forma bilineal.
[matemática] \ begin {array} {rcl} \ chi: \ mathbb {R} ^ 3 \ times \ mathbb {R} ^ 3 & \ to & \ mathbb {R} \\ (x_1, y_1, z_2), ( x_2, y_2, z_2) & \ mapsto & x_1x_2 + x_1y_2 + x_2y_1 + y_1y_2 + y_1z_2 + y_2z_1 + z_1z_2 \ end {array} [/ math]
Queremos una matriz simétrica para ello. Encontramos fácilmente [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math].
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La matriz es simétrica, por lo que sus espacios propios son automáticamente ortogonales: no hay necesidad de Gram-Schmidt. Aplicar Gram-Schmidt a una base ya ortonormal produce lo mismo. De hecho, si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son dos vectores propios para valores propios [matemática] \ lambda [/ matemática] y [matemática] \ mu [/ matemática] ([matemática] \ lambda \ ne \ mu [/ math]), luego [math] \ langle Axe, y \ rangle = \ langle x, A ^ \ top \! y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle = \ lambda \ langle x, y \ rangle = \ mu \ langle x, y \ rangle [/ math]. Como [math] \ lambda \ ne \ mu [/ math], tenemos [math] \ langle x, y \ rangle = 0 [/ math].
El polinomio característico es [matemática] X ^ 3-3X + X + 1 [/ matemática], las raíces son [matemática] 1, 1+ \ sqrt {2} [/ matemática] y [matemática] 1- \ sqrt {2 }[/matemáticas].
Entonces [math] A = P \ Delta P ^ {- 1} [/ math] con [math] \ Delta = \ mathrm {Diag} (1, 1+ \ sqrt {2}, 1- \ sqrt {2}) [/ math] y [math] P = \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \ sqrt {2} & – \ sqrt {2} \\ -1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} [ /matemáticas].
Puede verificar que las columnas de [math] P [/ math] sean ortogonales.
Ahora deje que [math] X = \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} [/ math] y [math] Y = P ^ {- 1} X [/ math].
Entonces [matemáticas] Y ^ \ top \! \ Delta Y = X ^ \ top \! AX [/ matemáticas]. Tienes tu base ortogonal.
Puede normalizar las columnas de [math] P [/ math] para obtener una base ortonormal.
Si su intento con Gram-Schmidt fue ortonormalizar para [math] \ chi [/ math] la base canónica, no tendrá éxito porque eso significaría que tenemos una base donde la matriz de [math] \ chi [/ math ] es la matriz de identidad, pero [math] \ chi [/ math] tiene valores propios diferentes de [math] 1 [/ math]: tal base no existe.